Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82240 / 16832
↖ ↑ ↗
← N 78.937709°
E 45.878906°		 ← 58.60 m → N 78.937709°
E 45.881653°		 →
↑
58.61 m
↓
↑
58.61 m
↓
N 78.937182°
E 45.878906°		 ← 58.61 m →
3 435 m²		 N 78.937182°
E 45.881653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627445220947266 y=0.128421783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627445220947266 × 217)
    floor (0.627445220947266 × 131072)
    floor (82240.5)     		tx = 82240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128421783447266 × 217)
    floor (0.128421783447266 × 131072)
    floor (16832.5)     		ty = 16832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82240 / 16832 ti = "17/82240/16832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82240/16832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82240 ÷ 217
    82240 ÷ 131072     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16832 ÷ 217
    16832 ÷ 131072     		y = 0.12841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    0.7431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33471875909521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33471875909521))-π/2
    2×atan(10.3265552711865)-π/2
    2×1.47425962148049-π/2
    2.94851924296098-1.57079632675     		φ = 1.37772292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37772292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.937709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82240 KachelY 16832 0.80073797 1.37772292 45.878906 78.937709
    Oben rechts KachelX + 1 82241 KachelY 16832 0.80078591 1.37772292 45.881653 78.937709
    Unten links KachelX 82240 KachelY + 1 16833 0.80073797 1.37771372 45.878906 78.937182
    Unten rechts KachelX + 1 82241 KachelY + 1 16833 0.80078591 1.37771372 45.881653 78.937182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37772292-1.37771372) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dl = 58.6132000002708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37772292-1.37771372) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dr = 58.6132000002708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80078591) × cos(1.37772292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19187609675018 × 6371000     		do = 58.6038988381969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80078591) × cos(1.37771372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191885125798312 × 6371000     		du = 58.6066565419042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37772292)-sin(1.37771372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19187609675018-0.191885125798312)×R²
    abs(0.80078591-0.80073797)×9.02904813243621e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.02904813243621e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.02904813243621e-06×40589641000000     		ar = 3435.04286239073m²