Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82240 / 17216
↖ ↑ ↗
← N 78.733501°
E 45.878906°		 ← 59.67 m → N 78.733501°
E 45.881653°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.732964°
E 45.878906°		 ← 59.67 m →
3 562 m²		 N 78.732964°
E 45.881653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627445220947266 y=0.131351470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627445220947266 × 217)
    floor (0.627445220947266 × 131072)
    floor (82240.5)     		tx = 82240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131351470947266 × 217)
    floor (0.131351470947266 × 131072)
    floor (17216.5)     		ty = 17216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82240 / 17216 ti = "17/82240/17216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82240/17216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82240 ÷ 217
    82240 ÷ 131072     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17216 ÷ 217
    17216 ÷ 131072     		y = 0.13134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13134765625 × 2 - 1) × π
    0.7373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31631098964111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31631098964111))-π/2
    2×atan(10.1382052924316)-π/2
    2×1.47247757113172-π/2
    2.94495514226343-1.57079632675     		φ = 1.37415882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37415882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.733501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82240 KachelY 17216 0.80073797 1.37415882 45.878906 78.733501
    Oben rechts KachelX + 1 82241 KachelY 17216 0.80078591 1.37415882 45.881653 78.733501
    Unten links KachelX 82240 KachelY + 1 17217 0.80073797 1.37414945 45.878906 78.732964
    Unten rechts KachelX + 1 82241 KachelY + 1 17217 0.80078591 1.37414945 45.881653 78.732964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37415882-1.37414945) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dl = 59.6962699993471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37415882-1.37414945) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dr = 59.6962699993471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80078591) × cos(1.37415882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19537274668399 × 6371000     		do = 59.6718657317511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80078591) × cos(1.37414945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195381936106709 × 6371000     		du = 59.6746724179852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37415882)-sin(1.37414945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19537274668399-0.195381936106709)×R²
    abs(0.80078591-0.80073797)×9.1894227188527e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.1894227188527e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.1894227188527e-06×40589641000000     		ar = 3562.2715823691m²