Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82242 / 16706
↖ ↑ ↗
← N 79.003915°
E 45.884400°		 ← 58.25 m → N 79.003915°
E 45.887146°		 →
↑
58.23 m
↓
↑
58.23 m
↓
N 79.003391°
E 45.884400°		 ← 58.25 m →
3 392 m²		 N 79.003391°
E 45.887146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627460479736328 y=0.127460479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627460479736328 × 217)
    floor (0.627460479736328 × 131072)
    floor (82242.5)     		tx = 82242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127460479736328 × 217)
    floor (0.127460479736328 × 131072)
    floor (16706.5)     		ty = 16706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82242 / 16706 ti = "17/82242/16706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82242/16706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82242 ÷ 217
    82242 ÷ 131072     		x = 0.627456665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16706 ÷ 217
    16706 ÷ 131072     		y = 0.127456665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627456665039062 × 2 - 1) × π
    0.254913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80083385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127456665039062 × 2 - 1) × π
    0.745086669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34075880844734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80083385} λ = 0.80083385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34075880844734))-π/2
    2×atan(10.389116922193)-π/2
    2×1.47483737780005-π/2
    2.9496747556001-1.57079632675     		φ = 1.37887843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80083385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.884400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37887843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.003915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82242 KachelY 16706 0.80083385 1.37887843 45.884400 79.003915
    Oben rechts KachelX + 1 82243 KachelY 16706 0.80088178 1.37887843 45.887146 79.003915
    Unten links KachelX 82242 KachelY + 1 16707 0.80083385 1.37886929 45.884400 79.003391
    Unten rechts KachelX + 1 82243 KachelY + 1 16707 0.80088178 1.37886929 45.887146 79.003391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37887843-1.37886929) × R
    9.14000000018511e-06 × 6371000     		dl = 58.2309400011793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37887843-1.37886929) × R
    9.14000000018511e-06 × 6371000     		dr = 58.2309400011793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80083385-0.80088178) × cos(1.37887843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190741929254605 × 6371000     		do = 58.2453427233383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80083385-0.80088178) × cos(1.37886929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190750901438225 × 6371000     		du = 58.248082487542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37887843)-sin(1.37886929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190741929254605-0.190750901438225)×R²
    abs(0.80088178-0.80083385)×8.97218361989305e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.97218361989305e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.97218361989305e-06×40589641000000     		ar = 3391.76082709826m²