Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82244 / 16708
↖ ↑ ↗
← N 79.002867°
E 45.889893°		 ← 58.26 m → N 79.002867°
E 45.892639°		 →
↑
58.23 m
↓
↑
58.23 m
↓
N 79.002343°
E 45.889893°		 ← 58.27 m →
3 393 m²		 N 79.002343°
E 45.892639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627475738525391 y=0.127475738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627475738525391 × 217)
    floor (0.627475738525391 × 131072)
    floor (82244.5)     		tx = 82244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127475738525391 × 217)
    floor (0.127475738525391 × 131072)
    floor (16708.5)     		ty = 16708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82244 / 16708 ti = "17/82244/16708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82244/16708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82244 ÷ 217
    82244 ÷ 131072     		x = 0.627471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16708 ÷ 217
    16708 ÷ 131072     		y = 0.127471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627471923828125 × 2 - 1) × π
    0.25494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80092972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127471923828125 × 2 - 1) × π
    0.74505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3406629346481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80092972} λ = 0.80092972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3406629346481))-π/2
    2×atan(10.3881209258287)-π/2
    2×1.474828233793-π/2
    2.949656467586-1.57079632675     		φ = 1.37886014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80092972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37886014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.002867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82244 KachelY 16708 0.80092972 1.37886014 45.889893 79.002867
    Oben rechts KachelX + 1 82245 KachelY 16708 0.80097766 1.37886014 45.892639 79.002867
    Unten links KachelX 82244 KachelY + 1 16709 0.80092972 1.37885100 45.889893 79.002343
    Unten rechts KachelX + 1 82245 KachelY + 1 16709 0.80097766 1.37885100 45.892639 79.002343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37886014-1.37885100) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dl = 58.2309399997647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37886014-1.37885100) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dr = 58.2309399997647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80092972-0.80097766) × cos(1.37886014) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190759883422277 × 6371000     		do = 58.2629785566593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80092972-0.80097766) × cos(1.37885100) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190768855574008 × 6371000     		du = 58.2657188827411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37886014)-sin(1.37885100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190759883422277-0.190768855574008)×R²
    abs(0.80097766-0.80092972)×8.97215173095711e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.97215173095711e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.97215173095711e-06×40589641000000     		ar = 3392.78779440965m²