Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82248 / 16712
↖ ↑ ↗
← N 79.000771°
E 45.900879°		 ← 58.26 m → N 79.000771°
E 45.903625°		 →
↑
58.29 m
↓
↑
58.29 m
↓
N 79.000246°
E 45.900879°		 ← 58.26 m →
3 396 m²		 N 79.000246°
E 45.903625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627506256103516 y=0.127506256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627506256103516 × 217)
    floor (0.627506256103516 × 131072)
    floor (82248.5)     		tx = 82248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127506256103516 × 217)
    floor (0.127506256103516 × 131072)
    floor (16712.5)     		ty = 16712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82248 / 16712 ti = "17/82248/16712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82248/16712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82248 ÷ 217
    82248 ÷ 131072     		x = 0.62750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16712 ÷ 217
    16712 ÷ 131072     		y = 0.12750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62750244140625 × 2 - 1) × π
    0.2550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80112147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12750244140625 × 2 - 1) × π
    0.7449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34047118704962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80112147} λ = 0.80112147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34047118704962))-π/2
    2×atan(10.386129219547)-π/2
    2×1.47480994319698-π/2
    2.94961988639396-1.57079632675     		φ = 1.37882356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80112147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37882356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.000771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82248 KachelY 16712 0.80112147 1.37882356 45.900879 79.000771
    Oben rechts KachelX + 1 82249 KachelY 16712 0.80116940 1.37882356 45.903625 79.000771
    Unten links KachelX 82248 KachelY + 1 16713 0.80112147 1.37881441 45.900879 79.000246
    Unten rechts KachelX + 1 82249 KachelY + 1 16713 0.80116940 1.37881441 45.903625 79.000246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37882356-1.37881441) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dl = 58.2946500007921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37882356-1.37881441) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dr = 58.2946500007921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80112147-0.80116940) × cos(1.37882356) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190795791566172 × 6371000     		do = 58.2617902281389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80112147-0.80116940) × cos(1.37881441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190804773470397 × 6371000     		du = 58.2645329606462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37882356)-sin(1.37881441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190795791566172-0.190804773470397)×R²
    abs(0.80116940-0.80112147)×8.98190422476963e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.98190422476963e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.98190422476963e-06×40589641000000     		ar = 3396.4306130595m²