Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8225 / 8225
↖ ↑ ↗
← S  0.725078°
E  0.725098°		 ← 2 443.08 m → S  0.725078°
E  0.747071°		 →
↑
2 443.09 m
↓
↑
2 443.09 m
↓
S  0.747049°
E  0.725098°		 ← 2 443.07 m →
5 968 650 m²		 S  0.747049°
E  0.747071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502044677734375 y=0.502044677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502044677734375 × 214)
    floor (0.502044677734375 × 16384)
    floor (8225.5)     		tx = 8225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502044677734375 × 214)
    floor (0.502044677734375 × 16384)
    floor (8225.5)     		ty = 8225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8225 / 8225 ti = "14/8225/8225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8225/8225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8225 ÷ 214
    8225 ÷ 16384     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8225 ÷ 214
    8225 ÷ 16384     		y = 0.50201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    -0.0040283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0126553414996948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0126553414996948))-π/2
    2×atan(0.987424400592281)-π/2
    2×0.779070661545004-π/2
    1.55814132309001-1.57079632675     		φ = -0.01265500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01265500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.725078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8225 KachelY 8225 0.01265534 -0.01265500 0.725098 -0.725078
    Oben rechts KachelX + 1 8226 KachelY 8225 0.01303884 -0.01265500 0.747071 -0.725078
    Unten links KachelX 8225 KachelY + 1 8226 0.01265534 -0.01303847 0.725098 -0.747049
    Unten rechts KachelX + 1 8226 KachelY + 1 8226 0.01303884 -0.01303847 0.747071 -0.747049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01265500--0.01303847) × R
    0.00038347 × 6371000     		dl = 2443.08737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01265500--0.01303847) × R
    0.00038347 × 6371000     		dr = 2443.08737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01303884) × cos(-0.01265500) × R
    0.0003835 × 0.999919926556149 × 6371000     		do = 2443.08285827622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01303884) × cos(-0.01303847) × R
    0.0003835 × 0.999915000354213 × 6371000     		du = 2443.07082219294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01265500)-sin(-0.01303847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999919926556149-0.999915000354213)×R²
    abs(0.01303884-0.01265534)×4.92620193548454e-06×R²
    0.0003835×4.92620193548454e-06×6371000²
    0.0003835×4.92620193548454e-06×40589641000000     		ar = 5968650.24545708m²