Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8225 / 8227
↖ ↑ ↗
← S  0.769020°
E  0.725098°		 ← 2 443.06 m → S  0.769020°
E  0.747071°		 →
↑
2 443.02 m
↓
↑
2 443.02 m
↓
S  0.790991°
E  0.725098°		 ← 2 443.05 m →
5 968 434 m²		 S  0.790991°
E  0.747071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502044677734375 y=0.502166748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502044677734375 × 214)
    floor (0.502044677734375 × 16384)
    floor (8225.5)     		tx = 8225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502166748046875 × 214)
    floor (0.502166748046875 × 16384)
    floor (8227.5)     		ty = 8227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8225 / 8227 ti = "14/8225/8227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8225/8227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8225 ÷ 214
    8225 ÷ 16384     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8227 ÷ 214
    8227 ÷ 16384     		y = 0.50213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0134223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0134223318936157))-π/2
    2×atan(0.986667345926245)-π/2
    2×0.778687198954382-π/2
    1.55737439790876-1.57079632675     		φ = -0.01342193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01342193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.769020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8225 KachelY 8227 0.01265534 -0.01342193 0.725098 -0.769020
    Oben rechts KachelX + 1 8226 KachelY 8227 0.01303884 -0.01342193 0.747071 -0.769020
    Unten links KachelX 8225 KachelY + 1 8228 0.01265534 -0.01380539 0.725098 -0.790991
    Unten rechts KachelX + 1 8226 KachelY + 1 8228 0.01303884 -0.01380539 0.747071 -0.790991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01342193--0.01380539) × R
    0.00038346 × 6371000     		dl = 2443.02366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01342193--0.01380539) × R
    0.00038346 × 6371000     		dr = 2443.02366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01303884) × cos(-0.01342193) × R
    0.0003835 × 0.999909927249753 × 6371000     		do = 2443.05842718589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01303884) × cos(-0.01380539) × R
    0.0003835 × 0.999904707116968 × 6371000     		du = 2443.04567294769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01342193)-sin(-0.01380539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999909927249753-0.999904707116968)×R²
    abs(0.01303884-0.01265534)×5.22013278547728e-06×R²
    0.0003835×5.22013278547728e-06×6371000²
    0.0003835×5.22013278547728e-06×40589641000000     		ar = 5968434.03405866m²