Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82256 / 16720
↖ ↑ ↗
← N 78.996578°
E 45.922851°		 ← 58.30 m → N 78.996578°
E 45.925598°		 →
↑
58.29 m
↓
↑
58.29 m
↓
N 78.996054°
E 45.922851°		 ← 58.30 m →
3 398 m²		 N 78.996054°
E 45.925598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627567291259766 y=0.127567291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627567291259766 × 217)
    floor (0.627567291259766 × 131072)
    floor (82256.5)     		tx = 82256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127567291259766 × 217)
    floor (0.127567291259766 × 131072)
    floor (16720.5)     		ty = 16720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82256 / 16720 ti = "17/82256/16720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82256/16720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82256 ÷ 217
    82256 ÷ 131072     		x = 0.6275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16720 ÷ 217
    16720 ÷ 131072     		y = 0.1275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6275634765625 × 2 - 1) × π
    0.255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80150496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1275634765625 × 2 - 1) × π
    0.744873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34008769185266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80150496} λ = 0.80150496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34008769185266))-π/2
    2×atan(10.3821469525152)-π/2
    2×1.47477335167509-π/2
    2.94954670335018-1.57079632675     		φ = 1.37875038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80150496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.922851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37875038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.996578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82256 KachelY 16720 0.80150496 1.37875038 45.922851 78.996578
    Oben rechts KachelX + 1 82257 KachelY 16720 0.80155290 1.37875038 45.925598 78.996578
    Unten links KachelX 82256 KachelY + 1 16721 0.80150496 1.37874123 45.922851 78.996054
    Unten rechts KachelX + 1 82257 KachelY + 1 16721 0.80155290 1.37874123 45.925598 78.996054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37875038-1.37874123) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dl = 58.2946500007921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37875038-1.37874123) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dr = 58.2946500007921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80150496-0.80155290) × cos(1.37875038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190867626720321 × 6371000     		do = 58.2958861330597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80150496-0.80155290) × cos(1.37874123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190876608496763 × 6371000     		du = 58.2986293987759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37875038)-sin(1.37874123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190867626720321-0.190876608496763)×R²
    abs(0.80155290-0.80150496)×8.98177644145792e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.98177644145792e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.98177644145792e-06×40589641000000     		ar = 3398.41823751218m²