Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8226 / 24610
↖ ↑ ↗
← N 40.838749°
W134.813232°		 ← 462.09 m → N 40.838749°
W134.807739°		 →
↑
462.09 m
↓
↑
462.09 m
↓
N 40.834593°
W134.813232°		 ← 462.12 m →
213 535 m²		 N 40.834593°
W134.807739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125526428222656 y=0.375526428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125526428222656 × 216)
    floor (0.125526428222656 × 65536)
    floor (8226.5)     		tx = 8226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375526428222656 × 216)
    floor (0.375526428222656 × 65536)
    floor (24610.5)     		ty = 24610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8226 / 24610 ti = "16/8226/24610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8226/24610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8226 ÷ 216
    8226 ÷ 65536     		x = 0.125518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24610 ÷ 216
    24610 ÷ 65536     		y = 0.375518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.74896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35293478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375518798828125 × 2 - 1) × π
    0.24896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.782138454200836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35293478} λ = -2.35293478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782138454200836))-π/2
    2×atan(2.18614223550721)-π/2
    2×1.14178348081573-π/2
    2.28356696163146-1.57079632675     		φ = 0.71277063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35293478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71277063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.838749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8226 KachelY 24610 -2.35293478 0.71277063 -134.813232 40.838749
    Oben rechts KachelX + 1 8227 KachelY 24610 -2.35283891 0.71277063 -134.807739 40.838749
    Unten links KachelX 8226 KachelY + 1 24611 -2.35293478 0.71269810 -134.813232 40.834593
    Unten rechts KachelX + 1 8227 KachelY + 1 24611 -2.35283891 0.71269810 -134.807739 40.834593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71277063-0.71269810) × R
    7.25299999999596e-05 × 6371000     		dl = 462.088629999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71277063-0.71269810) × R
    7.25299999999596e-05 × 6371000     		dr = 462.088629999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35293478--2.35283891) × cos(0.71277063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756552977360958 × 6371000     		do = 462.09330592915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35293478--2.35283891) × cos(0.71269810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756600405088408 × 6371000     		du = 462.122274205035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71277063)-sin(0.71269810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756552977360958-0.756600405088408)×R²
    abs(-2.35283891--2.35293478)×4.74277274499224e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74277274499224e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74277274499224e-05×40589641000000     		ar = 213534.755718007m²