Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8226 / 8226
↖ ↑ ↗
← S  0.747049°
E  0.747071°		 ← 2 443.01 m → S  0.747049°
E  0.769043°		 →
↑
2 443.02 m
↓
↑
2 443.02 m
↓
S  0.769020°
E  0.747071°		 ← 2 442.99 m →
5 968 309 m²		 S  0.769020°
E  0.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502105712890625 y=0.502105712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502105712890625 × 214)
    floor (0.502105712890625 × 16384)
    floor (8226.5)     		tx = 8226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502105712890625 × 214)
    floor (0.502105712890625 × 16384)
    floor (8226.5)     		ty = 8226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8226 / 8226 ti = "14/8226/8226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8226/8226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8226 ÷ 214
    8226 ÷ 16384     		x = 0.5020751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8226 ÷ 214
    8226 ÷ 16384     		y = 0.5020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5020751953125 × 2 - 1) × π
    0.004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01303884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0130388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01303884} λ = 0.01303884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0130388366966553))-π/2
    2×atan(0.987045800677557)-π/2
    2×0.77887892977036-π/2
    1.55775785954072-1.57079632675     		φ = -0.01303847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01303884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.747071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01303847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.747049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8226 KachelY 8226 0.01303884 -0.01303847 0.747071 -0.747049
    Oben rechts KachelX + 1 8227 KachelY 8226 0.01342233 -0.01303847 0.769043 -0.747049
    Unten links KachelX 8226 KachelY + 1 8227 0.01303884 -0.01342193 0.747071 -0.769020
    Unten rechts KachelX + 1 8227 KachelY + 1 8227 0.01342233 -0.01342193 0.769043 -0.769020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01303847--0.01342193) × R
    0.00038346 × 6371000     		dl = 2443.02366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01303847--0.01342193) × R
    0.00038346 × 6371000     		dr = 2443.02366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01303884-0.01342233) × cos(-0.01303847) × R
    0.00038349 × 0.999915000354213 × 6371000     		do = 2443.00711760827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01303884-0.01342233) × cos(-0.01342193) × R
    0.00038349 × 0.999909927249753 × 6371000     		du = 2442.99472292442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01303847)-sin(-0.01342193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999915000354213-0.999909927249753)×R²
    abs(0.01342233-0.01303884)×5.07310445996279e-06×R²
    0.00038349×5.07310445996279e-06×6371000²
    0.00038349×5.07310445996279e-06×40589641000000     		ar = 5968309.12274492m²