Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82272 / 16736
↖ ↑ ↗
← N 78.988187°
E 45.966797°		 ← 58.34 m → N 78.988187°
E 45.969544°		 →
↑
58.36 m
↓
↑
58.36 m
↓
N 78.987662°
E 45.966797°		 ← 58.34 m →
3 405 m²		 N 78.987662°
E 45.969544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627689361572266 y=0.127689361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627689361572266 × 217)
    floor (0.627689361572266 × 131072)
    floor (82272.5)     		tx = 82272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127689361572266 × 217)
    floor (0.127689361572266 × 131072)
    floor (16736.5)     		ty = 16736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82272 / 16736 ti = "17/82272/16736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82272/16736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82272 ÷ 217
    82272 ÷ 131072     		x = 0.627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16736 ÷ 217
    16736 ÷ 131072     		y = 0.127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627685546875 × 2 - 1) × π
    0.25537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80227195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80227195} λ = 0.80227195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33932070145874))-π/2
    2×atan(10.3741869985287)-π/2
    2×1.47470012729446-π/2
    2.94940025458893-1.57079632675     		φ = 1.37860393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80227195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37860393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.988187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82272 KachelY 16736 0.80227195 1.37860393 45.966797 78.988187
    Oben rechts KachelX + 1 82273 KachelY 16736 0.80231989 1.37860393 45.969544 78.988187
    Unten links KachelX 82272 KachelY + 1 16737 0.80227195 1.37859477 45.966797 78.987662
    Unten rechts KachelX + 1 82273 KachelY + 1 16737 0.80231989 1.37859477 45.969544 78.987662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37860393-1.37859477) × R
    9.15999999984152e-06 × 6371000     		dl = 58.3583599989903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37860393-1.37859477) × R
    9.15999999984152e-06 × 6371000     		dr = 58.3583599989903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80227195-0.80231989) × cos(1.37860393) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.191011382304673 × 6371000     		do = 58.3397927889244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80227195-0.80231989) × cos(1.37859477) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.191020373641106 × 6371000     		du = 58.3425389745082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37860393)-sin(1.37859477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191011382304673-0.191020373641106)×R²
    abs(0.80231989-0.80227195)×8.99133643358918e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.99133643358918e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.99133643358918e-06×40589641000000     		ar = 3404.69476128328m²