Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8228 / 8228
↖ ↑ ↗
← S  0.790991°
E  0.791016°		 ← 2 442.98 m → S  0.790991°
E  0.812988°		 →
↑
2 443.02 m
↓
↑
2 443.02 m
↓
S  0.812961°
E  0.791016°		 ← 2 442.97 m →
5 968 247 m²		 S  0.812961°
E  0.812988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502227783203125 y=0.502227783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502227783203125 × 214)
    floor (0.502227783203125 × 16384)
    floor (8228.5)     		tx = 8228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502227783203125 × 214)
    floor (0.502227783203125 × 16384)
    floor (8228.5)     		ty = 8228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8228 / 8228 ti = "14/8228/8228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8228/8228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8228 ÷ 214
    8228 ÷ 16384     		x = 0.502197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8228 ÷ 214
    8228 ÷ 16384     		y = 0.502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502197265625 × 2 - 1) × π
    0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502197265625 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0138058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01380583} λ = 0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0138058270905762))-π/2
    2×atan(0.986289036282687)-π/2
    2×0.778495469125257-π/2
    1.55699093825051-1.57079632675     		φ = -0.01380539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01380539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.790991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8228 KachelY 8228 0.01380583 -0.01380539 0.791016 -0.790991
    Oben rechts KachelX + 1 8229 KachelY 8228 0.01418932 -0.01380539 0.812988 -0.790991
    Unten links KachelX 8228 KachelY + 1 8229 0.01380583 -0.01418885 0.791016 -0.812961
    Unten rechts KachelX + 1 8229 KachelY + 1 8229 0.01418932 -0.01418885 0.812988 -0.812961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01380539--0.01418885) × R
    0.000383459999999999 × 6371000     		dl = 2443.02365999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01380539--0.01418885) × R
    0.000383459999999999 × 6371000     		dr = 2443.02365999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01380583-0.01418932) × cos(-0.01380539) × R
    0.00038349 × 0.999904707116968 × 6371000     		do = 2442.9819690188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01380583-0.01418932) × cos(-0.01418885) × R
    0.00038349 × 0.999899339956625 × 6371000     		du = 2442.96885589326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01380539)-sin(-0.01418885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999904707116968-0.999899339956625)×R²
    abs(0.01418932-0.01380583)×5.36716034316154e-06×R²
    0.00038349×5.36716034316154e-06×6371000²
    0.00038349×5.36716034316154e-06×40589641000000     		ar = 5968246.80656004m²