Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82308 / 16772
↖ ↑ ↗
← N 78.969284°
E 46.065674°		 ← 58.44 m → N 78.969284°
E 46.068421°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.968758°
E 46.065674°		 ← 58.44 m →
3 414 m²		 N 78.968758°
E 46.068421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627964019775391 y=0.127964019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627964019775391 × 217)
    floor (0.627964019775391 × 131072)
    floor (82308.5)     		tx = 82308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127964019775391 × 217)
    floor (0.127964019775391 × 131072)
    floor (16772.5)     		ty = 16772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82308 / 16772 ti = "17/82308/16772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82308/16772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82308 ÷ 217
    82308 ÷ 131072     		x = 0.627960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16772 ÷ 217
    16772 ÷ 131072     		y = 0.127960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627960205078125 × 2 - 1) × π
    0.25592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80399768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127960205078125 × 2 - 1) × π
    0.74407958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33759497307242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80399768} λ = 0.80399768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33759497307242))-π/2
    2×atan(10.3562994085406)-π/2
    2×1.47453517073835-π/2
    2.94907034147669-1.57079632675     		φ = 1.37827401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80399768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37827401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.969284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82308 KachelY 16772 0.80399768 1.37827401 46.065674 78.969284
    Oben rechts KachelX + 1 82309 KachelY 16772 0.80404562 1.37827401 46.068421 78.969284
    Unten links KachelX 82308 KachelY + 1 16773 0.80399768 1.37826484 46.065674 78.968758
    Unten rechts KachelX + 1 82309 KachelY + 1 16773 0.80404562 1.37826484 46.068421 78.968758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37827401-1.37826484) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37827401-1.37826484) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80399768-0.80404562) × cos(1.37827401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191335217357426 × 6371000     		do = 58.4387003494142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80399768-0.80404562) × cos(1.37826484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191344217931337 × 6371000     		du = 58.4414493563616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37827401)-sin(1.37826484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191335217357426-0.191344217931337)×R²
    abs(0.80404562-0.80399768)×9.00057391156617e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.00057391156617e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.00057391156617e-06×40589641000000     		ar = 3414.19014384162m²