Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8231 / 8231
↖ ↑ ↗
← S  0.856902°
E  0.856933°		 ← 2 443.01 m → S  0.856902°
E  0.878906°		 →
↑
2 442.96 m
↓
↑
2 442.96 m
↓
S  0.878872°
E  0.856933°		 ← 2 442.99 m →
5 968 147 m²		 S  0.878872°
E  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502410888671875 y=0.502410888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502410888671875 × 214)
    floor (0.502410888671875 × 16384)
    floor (8231.5)     		tx = 8231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502410888671875 × 214)
    floor (0.502410888671875 × 16384)
    floor (8231.5)     		ty = 8231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8231 / 8231 ti = "14/8231/8231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8231/8231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8231 ÷ 214
    8231 ÷ 16384     		x = 0.50238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8231 ÷ 214
    8231 ÷ 16384     		y = 0.50238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50238037109375 × 2 - 1) × π
    0.0047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01495631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.0047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01495631} λ = 0.01495631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0149563126814575))-π/2
    2×atan(0.985154977442265)-π/2
    2×0.777920285840868-π/2
    1.55584057168174-1.57079632675     		φ = -0.01495576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01495631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.856933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01495576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.856902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8231 KachelY 8231 0.01495631 -0.01495576 0.856933 -0.856902
    Oben rechts KachelX + 1 8232 KachelY 8231 0.01533981 -0.01495576 0.878906 -0.856902
    Unten links KachelX 8231 KachelY + 1 8232 0.01495631 -0.01533921 0.856933 -0.878872
    Unten rechts KachelX + 1 8232 KachelY + 1 8232 0.01533981 -0.01533921 0.878906 -0.878872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01495576--0.01533921) × R
    0.00038345 × 6371000     		dl = 2442.95995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01495576--0.01533921) × R
    0.00038345 × 6371000     		dr = 2442.95995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01495631-0.01533981) × cos(-0.01495576) × R
    0.0003835 × 0.999888164705996 × 6371000     		do = 2443.00525523062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01495631-0.01533981) × cos(-0.01533921) × R
    0.0003835 × 0.999882356625021 × 6371000     		du = 2442.99106447125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01495576)-sin(-0.01533921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999888164705996-0.999882356625021)×R²
    abs(0.01533981-0.01495631)×5.80808097461194e-06×R²
    0.0003835×5.80808097461194e-06×6371000²
    0.0003835×5.80808097461194e-06×40589641000000     		ar = 5968146.73556619m²