Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8232 / 8232
↖ ↑ ↗
← S  0.878872°
E  0.878906°		 ← 2 442.93 m → S  0.878872°
E  0.900879°		 →
↑
2 442.96 m
↓
↑
2 442.96 m
↓
S  0.900842°
E  0.878906°		 ← 2 442.91 m →
5 967 956 m²		 S  0.900842°
E  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502471923828125 y=0.502471923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502471923828125 × 214)
    floor (0.502471923828125 × 16384)
    floor (8232.5)     		tx = 8232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502471923828125 × 214)
    floor (0.502471923828125 × 16384)
    floor (8232.5)     		ty = 8232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8232 / 8232 ti = "14/8232/8232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8232/8232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8232 ÷ 214
    8232 ÷ 16384     		x = 0.50244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8232 ÷ 214
    8232 ÷ 16384     		y = 0.50244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    -0.0048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01533981} λ = 0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.015339807878418))-π/2
    2×atan(0.98477724767356)-π/2
    2×0.777728560241018-π/2
    1.55545712048204-1.57079632675     		φ = -0.01533921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01533921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.878872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8232 KachelY 8232 0.01533981 -0.01533921 0.878906 -0.878872
    Oben rechts KachelX + 1 8233 KachelY 8232 0.01572330 -0.01533921 0.900879 -0.878872
    Unten links KachelX 8232 KachelY + 1 8233 0.01533981 -0.01572266 0.878906 -0.900842
    Unten rechts KachelX + 1 8233 KachelY + 1 8233 0.01572330 -0.01572266 0.900879 -0.900842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01533921--0.01572266) × R
    0.000383449999999999 × 6371000     		dl = 2442.95994999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01533921--0.01572266) × R
    0.000383449999999999 × 6371000     		dr = 2442.95994999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01533981-0.01572330) × cos(-0.01533921) × R
    0.000383489999999998 × 0.999882356625021 × 6371000     		do = 2442.9273619663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01533981-0.01572330) × cos(-0.01572266) × R
    0.000383489999999998 × 0.999876401527443 × 6371000     		du = 2442.91281238382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01533921)-sin(-0.01572266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999882356625021-0.999876401527443)×R²
    abs(0.01572330-0.01533981)×5.95509757772561e-06×R²
    0.000383489999999998×5.95509757772561e-06×6371000²
    0.000383489999999998×5.95509757772561e-06×40589641000000     		ar = 5967956.00714351m²