Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82320 / 16784
↖ ↑ ↗
← N 78.962976°
E 46.098633°		 ← 58.47 m → N 78.962976°
E 46.101379°		 →
↑
58.49 m
↓
↑
58.49 m
↓
N 78.962450°
E 46.098633°		 ← 58.47 m →
3 420 m²		 N 78.962450°
E 46.101379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628055572509766 y=0.128055572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628055572509766 × 217)
    floor (0.628055572509766 × 131072)
    floor (82320.5)     		tx = 82320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128055572509766 × 217)
    floor (0.128055572509766 × 131072)
    floor (16784.5)     		ty = 16784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82320 / 16784 ti = "17/82320/16784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82320/16784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82320 ÷ 217
    82320 ÷ 131072     		x = 0.6280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16784 ÷ 217
    16784 ÷ 131072     		y = 0.1280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6280517578125 × 2 - 1) × π
    0.256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80457292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1280517578125 × 2 - 1) × π
    0.743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33701973027698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80457292} λ = 0.80457292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33701973027698))-π/2
    2×atan(10.3503437350617)-π/2
    2×1.47448012309823-π/2
    2.94896024619646-1.57079632675     		φ = 1.37816392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80457292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37816392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.962976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82320 KachelY 16784 0.80457292 1.37816392 46.098633 78.962976
    Oben rechts KachelX + 1 82321 KachelY 16784 0.80462086 1.37816392 46.101379 78.962976
    Unten links KachelX 82320 KachelY + 1 16785 0.80457292 1.37815474 46.098633 78.962450
    Unten rechts KachelX + 1 82321 KachelY + 1 16785 0.80462086 1.37815474 46.101379 78.962450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37816392-1.37815474) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dl = 58.4857799996306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37816392-1.37815474) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dr = 58.4857799996306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80457292-0.80462086) × cos(1.37816392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191443272257447 × 6371000     		do = 58.4717030972139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80457292-0.80462086) × cos(1.37815474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191452282453161 × 6371000     		du = 58.4744550429073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37816392)-sin(1.37815474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191443272257447-0.191452282453161)×R²
    abs(0.80462086-0.80457292)×9.01019571392103e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.01019571392103e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.01019571392103e-06×40589641000000     		ar = 3419.84363850024m²