Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8240 / 24560
↖ ↑ ↗
← N 41.046217°
W134.736328°		 ← 460.69 m → N 41.046217°
W134.730835°		 →
↑
460.69 m
↓
↑
460.69 m
↓
N 41.042074°
W134.736328°		 ← 460.72 m →
212 242 m²		 N 41.042074°
W134.730835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125740051269531 y=0.374763488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125740051269531 × 216)
    floor (0.125740051269531 × 65536)
    floor (8240.5)     		tx = 8240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374763488769531 × 216)
    floor (0.374763488769531 × 65536)
    floor (24560.5)     		ty = 24560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8240 / 24560 ti = "16/8240/24560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8240/24560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8240 ÷ 216
    8240 ÷ 65536     		x = 0.125732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24560 ÷ 216
    24560 ÷ 65536     		y = 0.374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125732421875 × 2 - 1) × π
    -0.74853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35159255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.374755859375 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.786932144162842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35159255} λ = -2.35159255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.786932144162842))-π/2
    2×atan(2.1966470819693)-π/2
    2×1.14359397783939-π/2
    2.28718795567878-1.57079632675     		φ = 0.71639163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35159255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71639163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.046217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8240 KachelY 24560 -2.35159255 0.71639163 -134.736328 41.046217
    Oben rechts KachelX + 1 8241 KachelY 24560 -2.35149667 0.71639163 -134.730835 41.046217
    Unten links KachelX 8240 KachelY + 1 24561 -2.35159255 0.71631932 -134.736328 41.042074
    Unten rechts KachelX + 1 8241 KachelY + 1 24561 -2.35149667 0.71631932 -134.730835 41.042074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71639163-0.71631932) × R
    7.23099999999643e-05 × 6371000     		dl = 460.687009999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71639163-0.71631932) × R
    7.23099999999643e-05 × 6371000     		dr = 460.687009999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35159255--2.35149667) × cos(0.71639163) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754180133470919 × 6371000     		do = 460.692050717006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35159255--2.35149667) × cos(0.71631932) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754227615132745 × 6371000     		du = 460.721054960406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71639163)-sin(0.71631932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754180133470919-0.754227615132745)×R²
    abs(-2.35149667--2.35159255)×4.74816618258878e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74816618258878e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74816618258878e-05×40589641000000     		ar = 212241.524407319m²