Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8240 / 8239
↖ ↑ ↗
← S  1.032659°
E  1.054688°		 ← 2 442.82 m → S  1.032659°
E  1.076660°		 →
↑
2 442.83 m
↓
↑
2 442.83 m
↓
S  1.054628°
E  1.054688°		 ← 2 442.80 m →
5 967 374 m²		 S  1.054628°
E  1.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502960205078125 y=0.502899169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502960205078125 × 214)
    floor (0.502960205078125 × 16384)
    floor (8240.5)     		tx = 8240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502899169921875 × 214)
    floor (0.502899169921875 × 16384)
    floor (8239.5)     		ty = 8239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8240 / 8239 ti = "14/8240/8239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8240/8239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8240 ÷ 214
    8240 ÷ 16384     		x = 0.5029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8239 ÷ 214
    8239 ÷ 16384     		y = 0.50286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01840777} λ = 0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0180242742571411))-π/2
    2×atan(0.982137191418209)-π/2
    2×0.776386514198117-π/2
    1.55277302839623-1.57079632675     		φ = -0.01802330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01802330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.032659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8240 KachelY 8239 0.01840777 -0.01802330 1.054688 -1.032659
    Oben rechts KachelX + 1 8241 KachelY 8239 0.01879126 -0.01802330 1.076660 -1.032659
    Unten links KachelX 8240 KachelY + 1 8240 0.01840777 -0.01840673 1.054688 -1.054628
    Unten rechts KachelX + 1 8241 KachelY + 1 8240 0.01879126 -0.01840673 1.076660 -1.054628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01802330--0.01840673) × R
    0.000383430000000001 × 6371000     		dl = 2442.83253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01802330--0.01840673) × R
    0.000383430000000001 × 6371000     		dr = 2442.83253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01840777-0.01879126) × cos(-0.01802330) × R
    0.00038349 × 0.999837584725199 × 6371000     		do = 2442.81797459849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01840777-0.01879126) × cos(-0.01840673) × R
    0.00038349 × 0.999830600928244 × 6371000     		du = 2442.80091168247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01802330)-sin(-0.01840673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999837584725199-0.999830600928244)×R²
    abs(0.01879126-0.01840777)×6.98379695518447e-06×R²
    0.00038349×6.98379695518447e-06×6371000²
    0.00038349×6.98379695518447e-06×40589641000000     		ar = 5967374.44540431m²