Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82416 / 16880
↖ ↑ ↗
← N 78.912384°
E 46.362305°		 ← 58.72 m → N 78.912384°
E 46.365051°		 →
↑
58.74 m
↓
↑
58.74 m
↓
N 78.911856°
E 46.362305°		 ← 58.73 m →
3 450 m²		 N 78.911856°
E 46.365051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628787994384766 y=0.128787994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628787994384766 × 217)
    floor (0.628787994384766 × 131072)
    floor (82416.5)     		tx = 82416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128787994384766 × 217)
    floor (0.128787994384766 × 131072)
    floor (16880.5)     		ty = 16880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82416 / 16880 ti = "17/82416/16880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82416/16880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82416 ÷ 217
    82416 ÷ 131072     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16880 ÷ 217
    16880 ÷ 131072     		y = 0.1287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1287841796875 × 2 - 1) × π
    0.742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33241778791345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33241778791345))-π/2
    2×atan(10.3028214809558)-π/2
    2×1.47403862135958-π/2
    2.94807724271916-1.57079632675     		φ = 1.37728092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37728092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.912384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82416 KachelY 16880 0.80917487 1.37728092 46.362305 78.912384
    Oben rechts KachelX + 1 82417 KachelY 16880 0.80922280 1.37728092 46.365051 78.912384
    Unten links KachelX 82416 KachelY + 1 16881 0.80917487 1.37727170 46.362305 78.911856
    Unten rechts KachelX + 1 82417 KachelY + 1 16881 0.80922280 1.37727170 46.365051 78.911856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37728092-1.37727170) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dl = 58.7406199994964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37728092-1.37727170) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dr = 58.7406199994964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80922280) × cos(1.37728092) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192309865261007 × 6371000     		do = 58.7241308451636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80922280) × cos(1.37727170) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192318913154644 × 6371000     		du = 58.7268937283318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37728092)-sin(1.37727170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192309865261007-0.192318913154644)×R²
    abs(0.80922280-0.80917487)×9.04789363664893e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.04789363664893e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.04789363664893e-06×40589641000000     		ar = 3449.57300144809m²