Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82431 / 49665
↖ ↑ ↗
← N 39.907629°
E 46.403503°		 ← 234.29 m → N 39.907629°
E 46.406250°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
N 39.905523°
E 46.403503°		 ← 234.29 m →
54 885 m²		 N 39.905523°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628902435302734 y=0.378917694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628902435302734 × 217)
    floor (0.628902435302734 × 131072)
    floor (82431.5)     		tx = 82431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378917694091797 × 217)
    floor (0.378917694091797 × 131072)
    floor (49665.5)     		ty = 49665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82431 / 49665 ti = "17/82431/49665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82431/49665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82431 ÷ 217
    82431 ÷ 131072     		x = 0.628898620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49665 ÷ 217
    49665 ÷ 131072     		y = 0.378913879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628898620605469 × 2 - 1) × π
    0.257797241210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.80989392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378913879394531 × 2 - 1) × π
    0.242172241210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.760806533869911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80989392} λ = 0.80989392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760806533869911))-π/2
    2×atan(2.14000150834989)-π/2
    2×1.13365792840738-π/2
    2.26731585681477-1.57079632675     		φ = 0.69651953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80989392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.403503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69651953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.907629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82431 KachelY 49665 0.80989392 0.69651953 46.403503 39.907629
    Oben rechts KachelX + 1 82432 KachelY 49665 0.80994186 0.69651953 46.406250 39.907629
    Unten links KachelX 82431 KachelY + 1 49666 0.80989392 0.69648276 46.403503 39.905523
    Unten rechts KachelX + 1 82432 KachelY + 1 49666 0.80994186 0.69648276 46.406250 39.905523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69651953-0.69648276) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dl = 234.261670000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69651953-0.69648276) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dr = 234.261670000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80989392-0.80994186) × cos(0.69651953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767079730572756 × 6371000     		do = 234.285894349031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80989392-0.80994186) × cos(0.69648276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767103319913157 × 6371000     		du = 234.293099140779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69651953)-sin(0.69648276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767079730572756-0.767103319913157)×R²
    abs(0.80994186-0.80989392)×2.35893404018084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35893404018084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35893404018084e-05×40589641000000     		ar = 54885.0487770417m²