Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82433 / 17921
↖ ↑ ↗
← N 78.348856°
E 46.408996°		 ← 61.68 m → N 78.348856°
E 46.411743°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.348301°
E 46.408996°		 ← 61.68 m →
3 804 m²		 N 78.348301°
E 46.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628917694091797 y=0.136730194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628917694091797 × 217)
    floor (0.628917694091797 × 131072)
    floor (82433.5)     		tx = 82433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136730194091797 × 217)
    floor (0.136730194091797 × 131072)
    floor (17921.5)     		ty = 17921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82433 / 17921 ti = "17/82433/17921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82433/17921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82433 ÷ 217
    82433 ÷ 131072     		x = 0.628913879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17921 ÷ 217
    17921 ÷ 131072     		y = 0.136726379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628913879394531 × 2 - 1) × π
    0.257827758789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.80998979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136726379394531 × 2 - 1) × π
    0.726547241210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28251547540897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80998979} λ = 0.80998979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28251547540897))-π/2
    2×atan(9.80130436617493)-π/2
    2×1.46912091479251-π/2
    2.93824182958502-1.57079632675     		φ = 1.36744550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80998979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.408996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36744550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.348856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82433 KachelY 17921 0.80998979 1.36744550 46.408996 78.348856
    Oben rechts KachelX + 1 82434 KachelY 17921 0.81003773 1.36744550 46.411743 78.348856
    Unten links KachelX 82433 KachelY + 1 17922 0.80998979 1.36743582 46.408996 78.348301
    Unten rechts KachelX + 1 82434 KachelY + 1 17922 0.81003773 1.36743582 46.411743 78.348301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36744550-1.36743582) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dl = 61.6712800000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36744550-1.36743582) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dr = 61.6712800000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80998979-0.81003773) × cos(1.36744550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201952242666761 × 6371000     		do = 61.6814131611146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80998979-0.81003773) × cos(1.36743582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201961723204485 × 6371000     		du = 61.6843087613646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36744550)-sin(1.36743582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201952242666761-0.201961723204485)×R²
    abs(0.81003773-0.80998979)×9.48053772423241e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48053772423241e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48053772423241e-06×40589641000000     		ar = 3804.06098969402m²