Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82434 / 16902
↖ ↑ ↗
← N 78.900757°
E 46.411743°		 ← 58.80 m → N 78.900757°
E 46.414490°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.900229°
E 46.411743°		 ← 58.80 m →
3 458 m²		 N 78.900229°
E 46.414490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628925323486328 y=0.128955841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628925323486328 × 217)
    floor (0.628925323486328 × 131072)
    floor (82434.5)     		tx = 82434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128955841064453 × 217)
    floor (0.128955841064453 × 131072)
    floor (16902.5)     		ty = 16902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82434 / 16902 ti = "17/82434/16902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82434/16902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82434 ÷ 217
    82434 ÷ 131072     		x = 0.628921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16902 ÷ 217
    16902 ÷ 131072     		y = 0.128952026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628921508789062 × 2 - 1) × π
    0.257843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81003773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128952026367188 × 2 - 1) × π
    0.742095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33136317612181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81003773} λ = 0.81003773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33136317612181))-π/2
    2×atan(10.2919617313514)-π/2
    2×1.47393716274033-π/2
    2.94787432548066-1.57079632675     		φ = 1.37707800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81003773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37707800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.900757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82434 KachelY 16902 0.81003773 1.37707800 46.411743 78.900757
    Oben rechts KachelX + 1 82435 KachelY 16902 0.81008567 1.37707800 46.414490 78.900757
    Unten links KachelX 82434 KachelY + 1 16903 0.81003773 1.37706877 46.411743 78.900229
    Unten rechts KachelX + 1 82435 KachelY + 1 16903 0.81008567 1.37706877 46.414490 78.900229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37707800-1.37706877) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37707800-1.37706877) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81003773-0.81008567) × cos(1.37707800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192508993646893 × 6371000     		do = 58.7972018412192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81003773-0.81008567) × cos(1.37706877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192518050993473 × 6371000     		du = 58.7999681880006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37707800)-sin(1.37706877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192508993646893-0.192518050993473)×R²
    abs(0.81008567-0.81003773)×9.0573465795496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.0573465795496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.0573465795496e-06×40589641000000     		ar = 3457.61139661847m²