Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82435 / 16901
↖ ↑ ↗
← N 78.901286°
E 46.414490°		 ← 58.78 m → N 78.901286°
E 46.417236°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.900757°
E 46.414490°		 ← 58.78 m →
3 457 m²		 N 78.900757°
E 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628932952880859 y=0.128948211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628932952880859 × 217)
    floor (0.628932952880859 × 131072)
    floor (82435.5)     		tx = 82435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128948211669922 × 217)
    floor (0.128948211669922 × 131072)
    floor (16901.5)     		ty = 16901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82435 / 16901 ti = "17/82435/16901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82435/16901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82435 ÷ 217
    82435 ÷ 131072     		x = 0.628929138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16901 ÷ 217
    16901 ÷ 131072     		y = 0.128944396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628929138183594 × 2 - 1) × π
    0.257858276367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81008567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128944396972656 × 2 - 1) × π
    0.742111206054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.33141111302143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81008567} λ = 0.81008567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33141111302143))-π/2
    2×atan(10.2924551079131)-π/2
    2×1.47394177677399-π/2
    2.94788355354798-1.57079632675     		φ = 1.37708723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81008567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.414490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37708723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.901286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82435 KachelY 16901 0.81008567 1.37708723 46.414490 78.901286
    Oben rechts KachelX + 1 82436 KachelY 16901 0.81013360 1.37708723 46.417236 78.901286
    Unten links KachelX 82435 KachelY + 1 16902 0.81008567 1.37707800 46.414490 78.900757
    Unten rechts KachelX + 1 82436 KachelY + 1 16902 0.81013360 1.37707800 46.417236 78.900757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37708723-1.37707800) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37708723-1.37707800) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81008567-0.81013360) × cos(1.37708723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192499936283913 × 6371000     		do = 58.7821713185624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81008567-0.81013360) × cos(1.37707800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192508993646893 × 6371000     		du = 58.7849370933085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37708723)-sin(1.37707800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192499936283913-0.192508993646893)×R²
    abs(0.81013360-0.81008567)×9.05736297998616e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.05736297998616e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.05736297998616e-06×40589641000000     		ar = 3456.72752026902m²