Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82440 / 16904
↖ ↑ ↗
← N 78.899700°
E 46.428223°		 ← 58.80 m → N 78.899700°
E 46.430969°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.899171°
E 46.428223°		 ← 58.81 m →
3 458 m²		 N 78.899171°
E 46.430969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628971099853516 y=0.128971099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628971099853516 × 217)
    floor (0.628971099853516 × 131072)
    floor (82440.5)     		tx = 82440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128971099853516 × 217)
    floor (0.128971099853516 × 131072)
    floor (16904.5)     		ty = 16904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82440 / 16904 ti = "17/82440/16904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82440/16904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82440 ÷ 217
    82440 ÷ 131072     		x = 0.62896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16904 ÷ 217
    16904 ÷ 131072     		y = 0.12896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    0.2579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81032535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12896728515625 × 2 - 1) × π
    0.7420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33126730232257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81032535} λ = 0.81032535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33126730232257))-π/2
    2×atan(10.2909750491778)-π/2
    2×1.47392793402185-π/2
    2.9478558680437-1.57079632675     		φ = 1.37705954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81032535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37705954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.899700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82440 KachelY 16904 0.81032535 1.37705954 46.428223 78.899700
    Oben rechts KachelX + 1 82441 KachelY 16904 0.81037329 1.37705954 46.430969 78.899700
    Unten links KachelX 82440 KachelY + 1 16905 0.81032535 1.37705031 46.428223 78.899171
    Unten rechts KachelX + 1 82441 KachelY + 1 16905 0.81037329 1.37705031 46.430969 78.899171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37705954-1.37705031) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37705954-1.37705031) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81032535-0.81037329) × cos(1.37705954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192527108323651 × 6371000     		do = 58.8027345297727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81032535-0.81037329) × cos(1.37705031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192536165637428 × 6371000     		du = 58.8055008665353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37705954)-sin(1.37705031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192527108323651-0.192536165637428)×R²
    abs(0.81037329-0.81032535)×9.05731377645602e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.05731377645602e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.05731377645602e-06×40589641000000     		ar = 3457.93674246696m²