Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82441 / 16903
↖ ↑ ↗
← N 78.900229°
E 46.430969°		 ← 58.79 m → N 78.900229°
E 46.433716°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.899700°
E 46.430969°		 ← 58.79 m →
3 457 m²		 N 78.899700°
E 46.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628978729248047 y=0.128963470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628978729248047 × 217)
    floor (0.628978729248047 × 131072)
    floor (82441.5)     		tx = 82441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128963470458984 × 217)
    floor (0.128963470458984 × 131072)
    floor (16903.5)     		ty = 16903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82441 / 16903 ti = "17/82441/16903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82441/16903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82441 ÷ 217
    82441 ÷ 131072     		x = 0.628974914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16903 ÷ 217
    16903 ÷ 131072     		y = 0.128959655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628974914550781 × 2 - 1) × π
    0.257949829101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.81037329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128959655761719 × 2 - 1) × π
    0.742080688476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.33131523922219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81037329} λ = 0.81037329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33131523922219))-π/2
    2×atan(10.2914683784399)-π/2
    2×1.47393254848962-π/2
    2.94786509697924-1.57079632675     		φ = 1.37706877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81037329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.430969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37706877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.900229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82441 KachelY 16903 0.81037329 1.37706877 46.430969 78.900229
    Oben rechts KachelX + 1 82442 KachelY 16903 0.81042122 1.37706877 46.433716 78.900229
    Unten links KachelX 82441 KachelY + 1 16904 0.81037329 1.37705954 46.430969 78.899700
    Unten rechts KachelX + 1 82442 KachelY + 1 16904 0.81042122 1.37705954 46.433716 78.899700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37706877-1.37705954) × R
    9.22999999986018e-06 × 6371000     		dl = 58.8043299991092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37706877-1.37705954) × R
    9.22999999986018e-06 × 6371000     		dr = 58.8043299991092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81037329-0.81042122) × cos(1.37706877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192518050993473 × 6371000     		do = 58.7877028630464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81037329-0.81042122) × cos(1.37705954) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192527108323651 × 6371000     		du = 58.790468627776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37706877)-sin(1.37705954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192518050993473-0.192527108323651)×R²
    abs(0.81042122-0.81037329)×9.0573301781971e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.0573301781971e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.0573301781971e-06×40589641000000     		ar = 3457.05279868428m²