Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82463 / 16927
↖ ↑ ↗
← N 78.887531°
E 46.491394°		 ← 58.87 m → N 78.887531°
E 46.494141°		 →
↑
58.87 m
↓
↑
58.87 m
↓
N 78.887002°
E 46.491394°		 ← 58.87 m →
3 465 m²		 N 78.887002°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629146575927734 y=0.129146575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629146575927734 × 217)
    floor (0.629146575927734 × 131072)
    floor (82463.5)     		tx = 82463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129146575927734 × 217)
    floor (0.129146575927734 × 131072)
    floor (16927.5)     		ty = 16927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82463 / 16927 ti = "17/82463/16927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82463/16927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82463 ÷ 217
    82463 ÷ 131072     		x = 0.629142761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16927 ÷ 217
    16927 ÷ 131072     		y = 0.129142761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629142761230469 × 2 - 1) × π
    0.258285522460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81142790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129142761230469 × 2 - 1) × π
    0.741714477539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.33016475363131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81142790} λ = 0.81142790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33016475363131))-π/2
    2×atan(10.279635000732)-π/2
    2×1.47382174133193-π/2
    2.94764348266386-1.57079632675     		φ = 1.37684716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81142790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.491394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37684716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.887531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82463 KachelY 16927 0.81142790 1.37684716 46.491394 78.887531
    Oben rechts KachelX + 1 82464 KachelY 16927 0.81147584 1.37684716 46.494141 78.887531
    Unten links KachelX 82463 KachelY + 1 16928 0.81142790 1.37683792 46.491394 78.887002
    Unten rechts KachelX + 1 82464 KachelY + 1 16928 0.81147584 1.37683792 46.494141 78.887002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37684716-1.37683792) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dl = 58.8680400001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37684716-1.37683792) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dr = 58.8680400001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81142790-0.81147584) × cos(1.37684716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192735510701822 × 6371000     		do = 58.8663859803434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81142790-0.81147584) × cos(1.37683792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192744577450471 × 6371000     		du = 58.8691551987587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37684716)-sin(1.37683792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192735510701822-0.192744577450471)×R²
    abs(0.81147584-0.81142790)×9.06674864828427e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.06674864828427e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.06674864828427e-06×40589641000000     		ar = 3465.43027382416m²