Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82466 / 16930
↖ ↑ ↗
← N 78.885943°
E 46.499634°		 ← 58.87 m → N 78.885943°
E 46.502381°		 →
↑
58.87 m
↓
↑
58.87 m
↓
N 78.885414°
E 46.499634°		 ← 58.88 m →
3 466 m²		 N 78.885414°
E 46.502381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629169464111328 y=0.129169464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629169464111328 × 217)
    floor (0.629169464111328 × 131072)
    floor (82466.5)     		tx = 82466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129169464111328 × 217)
    floor (0.129169464111328 × 131072)
    floor (16930.5)     		ty = 16930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82466 / 16930 ti = "17/82466/16930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82466/16930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82466 ÷ 217
    82466 ÷ 131072     		x = 0.629165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16930 ÷ 217
    16930 ÷ 131072     		y = 0.129165649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629165649414062 × 2 - 1) × π
    0.258331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81157171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129165649414062 × 2 - 1) × π
    0.741668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33002094293245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81157171} λ = 0.81157171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33002094293245))-π/2
    2×atan(10.2781567855327)-π/2
    2×1.47380788163952-π/2
    2.94761576327903-1.57079632675     		φ = 1.37681944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81157171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.499634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37681944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.885943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82466 KachelY 16930 0.81157171 1.37681944 46.499634 78.885943
    Oben rechts KachelX + 1 82467 KachelY 16930 0.81161965 1.37681944 46.502381 78.885943
    Unten links KachelX 82466 KachelY + 1 16931 0.81157171 1.37681020 46.499634 78.885414
    Unten rechts KachelX + 1 82467 KachelY + 1 16931 0.81161965 1.37681020 46.502381 78.885414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37681944-1.37681020) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dl = 58.8680400001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37681944-1.37681020) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dr = 58.8680400001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81157171-0.81161965) × cos(1.37681944) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.192762710898398 × 6371000     		do = 58.8746936206471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81157171-0.81161965) × cos(1.37681020) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.192771777597676 × 6371000     		du = 58.8774628239833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37681944)-sin(1.37681020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192762710898398-0.192771777597676)×R²
    abs(0.81161965-0.81157171)×9.06669927774884e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.06669927774884e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.06669927774884e-06×40589641000000     		ar = 3465.91932773509m²