Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82472 / 16936
↖ ↑ ↗
← N 78.882766°
E 46.516113°		 ← 58.89 m → N 78.882766°
E 46.518860°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.882236°
E 46.516113°		 ← 58.89 m →
3 471 m²		 N 78.882236°
E 46.518860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629215240478516 y=0.129215240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629215240478516 × 217)
    floor (0.629215240478516 × 131072)
    floor (82472.5)     		tx = 82472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129215240478516 × 217)
    floor (0.129215240478516 × 131072)
    floor (16936.5)     		ty = 16936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82472 / 16936 ti = "17/82472/16936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82472/16936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82472 ÷ 217
    82472 ÷ 131072     		x = 0.62921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16936 ÷ 217
    16936 ÷ 131072     		y = 0.12921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62921142578125 × 2 - 1) × π
    0.2584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81185933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12921142578125 × 2 - 1) × π
    0.7415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32973332153473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81185933} λ = 0.81185933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32973332153473))-π/2
    2×atan(10.275200992807)-π/2
    2×1.47378015638664-π/2
    2.94756031277328-1.57079632675     		φ = 1.37676399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81185933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37676399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.882766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82472 KachelY 16936 0.81185933 1.37676399 46.516113 78.882766
    Oben rechts KachelX + 1 82473 KachelY 16936 0.81190727 1.37676399 46.518860 78.882766
    Unten links KachelX 82472 KachelY + 1 16937 0.81185933 1.37675474 46.516113 78.882236
    Unten rechts KachelX + 1 82473 KachelY + 1 16937 0.81190727 1.37675474 46.518860 78.882236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37676399-1.37675474) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dl = 58.9317499997495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37676399-1.37675474) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dr = 58.9317499997495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81185933-0.81190727) × cos(1.37676399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19281712065952 × 6371000     		do = 58.8913117620647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81185933-0.81190727) × cos(1.37675474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192826197072348 × 6371000     		du = 58.894083932169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37676399)-sin(1.37675474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19281712065952-0.192826197072348)×R²
    abs(0.81190727-0.81185933)×9.07641282721361e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.07641282721361e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.07641282721361e-06×40589641000000     		ar = 3470.64974638958m²