Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82496 / 115264
↖ ↑ ↗
← S 79.464560°
E 46.582031°		 ← 55.83 m → S 79.464560°
E 46.584778°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
S 79.465062°
E 46.582031°		 ← 55.83 m →
3 116 m²		 S 79.465062°
E 46.584778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629398345947266 y=0.879398345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629398345947266 × 217)
    floor (0.629398345947266 × 131072)
    floor (82496.5)     		tx = 82496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879398345947266 × 217)
    floor (0.879398345947266 × 131072)
    floor (115264.5)     		ty = 115264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82496 / 115264 ti = "17/82496/115264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82496/115264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82496 ÷ 217
    82496 ÷ 131072     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115264 ÷ 217
    115264 ÷ 131072     		y = 0.87939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87939453125 × 2 - 1) × π
    -0.7587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38380614430615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38380614430615))-π/2
    2×atan(0.0921989861848328)-π/2
    2×0.0919390600962043-π/2
    0.183878120192409-1.57079632675     		φ = -1.38691821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38691821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.464560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82496 KachelY 115264 0.81300982 -1.38691821 46.582031 -79.464560
    Oben rechts KachelX + 1 82497 KachelY 115264 0.81305775 -1.38691821 46.584778 -79.464560
    Unten links KachelX 82496 KachelY + 1 115265 0.81300982 -1.38692697 46.582031 -79.465062
    Unten rechts KachelX + 1 82497 KachelY + 1 115265 0.81305775 -1.38692697 46.584778 -79.465062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38691821--1.38692697) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dl = 55.8099600003317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38691821--1.38692697) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dr = 55.8099600003317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81305775) × cos(-1.38691821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182843678328536 × 6371000     		do = 55.8335167871029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81305775) × cos(-1.38692697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182835065997613 × 6371000     		du = 55.8308869082494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38691821)-sin(-1.38692697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182843678328536-0.182835065997613)×R²
    abs(0.81305775-0.81300982)×8.61233092264158e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.61233092264158e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.61233092264158e-06×40589641000000     		ar = 3115.99295192648m²