Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82496 / 16959
↖ ↑ ↗
← N 78.870579°
E 46.582031°		 ← 58.94 m → N 78.870579°
E 46.584778°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.870049°
E 46.582031°		 ← 58.95 m →
3 474 m²		 N 78.870049°
E 46.584778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629398345947266 y=0.129390716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629398345947266 × 217)
    floor (0.629398345947266 × 131072)
    floor (82496.5)     		tx = 82496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129390716552734 × 217)
    floor (0.129390716552734 × 131072)
    floor (16959.5)     		ty = 16959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82496 / 16959 ti = "17/82496/16959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82496/16959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82496 ÷ 217
    82496 ÷ 131072     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16959 ÷ 217
    16959 ÷ 131072     		y = 0.129386901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129386901855469 × 2 - 1) × π
    0.741226196289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.32863077284347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32863077284347))-π/2
    2×atan(10.2638783264425)-π/2
    2×1.47367380373433-π/2
    2.94734760746867-1.57079632675     		φ = 1.37655128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37655128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.870579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82496 KachelY 16959 0.81300982 1.37655128 46.582031 78.870579
    Oben rechts KachelX + 1 82497 KachelY 16959 0.81305775 1.37655128 46.584778 78.870579
    Unten links KachelX 82496 KachelY + 1 16960 0.81300982 1.37654203 46.582031 78.870049
    Unten rechts KachelX + 1 82497 KachelY + 1 16960 0.81305775 1.37654203 46.584778 78.870049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37655128-1.37654203) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dl = 58.9317499997495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37655128-1.37654203) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dr = 58.9317499997495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81305775) × cos(1.37655128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193025834731256 × 6371000     		do = 58.9427607360168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81305775) × cos(1.37654203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193034910764488 × 6371000     		du = 58.945532211949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37655128)-sin(1.37654203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193025834731256-0.193034910764488)×R²
    abs(0.81305775-0.81300982)×9.07603323224704e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.07603323224704e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.07603323224704e-06×40589641000000     		ar = 3473.68170409724m²