Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8256 / 8256
↖ ↑ ↗
← S  1.406109°
E  1.406250°		 ← 2 442.54 m → S  1.406109°
E  1.428223°		 →
↑
2 442.51 m
↓
↑
2 442.51 m
↓
S  1.428075°
E  1.406250°		 ← 2 442.52 m →
5 965 917 m²		 S  1.428075°
E  1.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503936767578125 y=0.503936767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503936767578125 × 214)
    floor (0.503936767578125 × 16384)
    floor (8256.5)     		tx = 8256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503936767578125 × 214)
    floor (0.503936767578125 × 16384)
    floor (8256.5)     		ty = 8256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8256 / 8256 ti = "14/8256/8256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8256/8256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8256 ÷ 214
    8256 ÷ 16384     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8256 ÷ 214
    8256 ÷ 16384     		y = 0.50390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50390625 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0245436926054688))-π/2
    2×atan(0.975755054706375)-π/2
    2×0.773127548987936-π/2
    1.54625509797587-1.57079632675     		φ = -0.02454123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02454123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.406109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8256 KachelY 8256 0.02454369 -0.02454123 1.406250 -1.406109
    Oben rechts KachelX + 1 8257 KachelY 8256 0.02492719 -0.02454123 1.428223 -1.406109
    Unten links KachelX 8256 KachelY + 1 8257 0.02454369 -0.02492461 1.406250 -1.428075
    Unten rechts KachelX + 1 8257 KachelY + 1 8257 0.02492719 -0.02492461 1.428223 -1.428075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02454123--0.02492461) × R
    0.000383379999999999 × 6371000     		dl = 2442.51397999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02454123--0.02492461) × R
    0.000383379999999999 × 6371000     		dr = 2442.51397999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.02492719) × cos(-0.02454123) × R
    0.000383499999999998 × 0.999698879128554 × 6371000     		do = 2442.54277784888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.02492719) × cos(-0.02492461) × R
    0.000383499999999998 × 0.999689397988441 × 6371000     		du = 2442.51961278309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02454123)-sin(-0.02492461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999698879128554-0.999689397988441)×R²
    abs(0.02492719-0.02454369)×9.48114011289913e-06×R²
    0.000383499999999998×9.48114011289913e-06×6371000²
    0.000383499999999998×9.48114011289913e-06×40589641000000     		ar = 5965916.66421803m²