Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82560 / 115328
↖ ↑ ↗
← S 79.496652°
E 46.757813°		 ← 55.68 m → S 79.496652°
E 46.760559°		 →
↑
55.68 m
↓
↑
55.68 m
↓
S 79.497153°
E 46.757813°		 ← 55.67 m →
3 100 m²		 S 79.497153°
E 46.760559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629886627197266 y=0.879886627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629886627197266 × 217)
    floor (0.629886627197266 × 131072)
    floor (82560.5)     		tx = 82560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879886627197266 × 217)
    floor (0.879886627197266 × 131072)
    floor (115328.5)     		ty = 115328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82560 / 115328 ti = "17/82560/115328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82560/115328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82560 ÷ 217
    82560 ÷ 131072     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115328 ÷ 217
    115328 ÷ 131072     		y = 0.8798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8798828125 × 2 - 1) × π
    -0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38687410588184))-π/2
    2×atan(0.0919165567008311)-π/2
    2×0.0916590039868273-π/2
    0.183318007973655-1.57079632675     		φ = -1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82560 KachelY 115328 0.81607778 -1.38747832 46.757813 -79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 82561 KachelY 115328 0.81612572 -1.38747832 46.760559 -79.496652
    Unten links KachelX 82560 KachelY + 1 115329 0.81607778 -1.38748706 46.757813 -79.497153
    Unten rechts KachelX + 1 82561 KachelY + 1 115329 0.81612572 -1.38748706 46.760559 -79.497153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38747832--1.38748706) × R
    8.73999999995156e-06 × 6371000     		dl = 55.6825399996914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38747832--1.38748706) × R
    8.73999999995156e-06 × 6371000     		dr = 55.6825399996914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.81612572) × cos(-1.38747832) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 55.6769689277229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.81612572) × cos(-1.38748706) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.182284388449606 × 6371000     		du = 55.6743442327608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38747832)-sin(-1.38748706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.182284388449606)×R²
    abs(0.81612572-0.81607778)×8.59356176755033e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.59356176755033e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.59356176755033e-06×40589641000000     		ar = 3100.16197449821m²