Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8257 / 24641
↖ ↑ ↗
← N 40.709792°
W134.642944°		 ← 462.99 m → N 40.709792°
W134.637451°		 →
↑
463.04 m
↓
↑
463.04 m
↓
N 40.705628°
W134.642944°		 ← 463.02 m →
214 392 m²		 N 40.705628°
W134.637451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125999450683594 y=0.375999450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125999450683594 × 216)
    floor (0.125999450683594 × 65536)
    floor (8257.5)     		tx = 8257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375999450683594 × 216)
    floor (0.375999450683594 × 65536)
    floor (24641.5)     		ty = 24641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8257 / 24641 ti = "16/8257/24641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8257/24641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8257 ÷ 216
    8257 ÷ 65536     		x = 0.125991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24641 ÷ 216
    24641 ÷ 65536     		y = 0.375991821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125991821289062 × 2 - 1) × π
    -0.748016357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34996269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375991821289062 × 2 - 1) × π
    0.248016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.779166366424393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34996269} λ = -2.34996269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779166366424393))-π/2
    2×atan(2.17965447476439)-π/2
    2×1.14065811759855-π/2
    2.28131623519709-1.57079632675     		φ = 0.71051991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34996269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.642944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71051991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.709792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8257 KachelY 24641 -2.34996269 0.71051991 -134.642944 40.709792
    Oben rechts KachelX + 1 8258 KachelY 24641 -2.34986682 0.71051991 -134.637451 40.709792
    Unten links KachelX 8257 KachelY + 1 24642 -2.34996269 0.71044723 -134.642944 40.705628
    Unten rechts KachelX + 1 8258 KachelY + 1 24642 -2.34986682 0.71044723 -134.637451 40.705628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71051991-0.71044723) × R
    7.26800000000472e-05 × 6371000     		dl = 463.0442800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71051991-0.71044723) × R
    7.26800000000472e-05 × 6371000     		dr = 463.0442800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34996269--2.34986682) × cos(0.71051991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758022878614849 × 6371000     		do = 462.991103638134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34996269--2.34986682) × cos(0.71044723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758070280541062 × 6371000     		du = 463.02005615494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71051991)-sin(0.71044723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758022878614849-0.758070280541062)×R²
    abs(-2.34986682--2.34996269)×4.74019262133307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74019262133307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74019262133307e-05×40589641000000     		ar = 214392.085473561m²