Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8257 / 8254
↖ ↑ ↗
← S  1.362176°
E  1.428223°		 ← 2 442.52 m → S  1.362176°
E  1.450195°		 →
↑
2 442.58 m
↓
↑
2 442.58 m
↓
S  1.384143°
E  1.428223°		 ← 2 442.50 m →
5 966 028 m²		 S  1.384143°
E  1.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503997802734375 y=0.503814697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503997802734375 × 214)
    floor (0.503997802734375 × 16384)
    floor (8257.5)     		tx = 8257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503814697265625 × 214)
    floor (0.503814697265625 × 16384)
    floor (8254.5)     		ty = 8254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8257 / 8254 ti = "14/8257/8254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8257/8254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8257 ÷ 214
    8257 ÷ 16384     		x = 0.50396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8254 ÷ 214
    8254 ÷ 16384     		y = 0.5037841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50396728515625 × 2 - 1) × π
    0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5037841796875 × 2 - 1) × π
    -0.007568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0237767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02492719} λ = 0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0237767022115479))-π/2
    2×atan(0.976503736539339)-π/2
    2×0.773510932276749-π/2
    1.5470218645535-1.57079632675     		φ = -0.02377446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02377446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.362176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8257 KachelY 8254 0.02492719 -0.02377446 1.428223 -1.362176
    Oben rechts KachelX + 1 8258 KachelY 8254 0.02531068 -0.02377446 1.450195 -1.362176
    Unten links KachelX 8257 KachelY + 1 8255 0.02492719 -0.02415785 1.428223 -1.384143
    Unten rechts KachelX + 1 8258 KachelY + 1 8255 0.02531068 -0.02415785 1.450195 -1.384143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02377446--0.02415785) × R
    0.000383390000000001 × 6371000     		dl = 2442.57769000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02377446--0.02415785) × R
    0.000383390000000001 × 6371000     		dr = 2442.57769000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02492719-0.02531068) × cos(-0.02377446) × R
    0.00038349 × 0.999717400837238 × 6371000     		do = 2442.5243395459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02492719-0.02531068) × cos(-0.02415785) × R
    0.00038349 × 0.999708213332703 × 6371000     		du = 2442.50189249894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02377446)-sin(-0.02415785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999717400837238-0.999708213332703)×R²
    abs(0.02531068-0.02492719)×9.18750453560158e-06×R²
    0.00038349×9.18750453560158e-06×6371000²
    0.00038349×9.18750453560158e-06×40589641000000     		ar = 5966028.11780657m²