Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82576 / 17040
↖ ↑ ↗
← N 78.827554°
E 46.801758°		 ← 59.18 m → N 78.827554°
E 46.804505°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.827021°
E 46.801758°		 ← 59.18 m →
3 503 m²		 N 78.827021°
E 46.804505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630008697509766 y=0.130008697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630008697509766 × 217)
    floor (0.630008697509766 × 131072)
    floor (82576.5)     		tx = 82576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130008697509766 × 217)
    floor (0.130008697509766 × 131072)
    floor (17040.5)     		ty = 17040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82576 / 17040 ti = "17/82576/17040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82576/17040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82576 ÷ 217
    82576 ÷ 131072     		x = 0.6300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17040 ÷ 217
    17040 ÷ 131072     		y = 0.1300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6300048828125 × 2 - 1) × π
    0.260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81684477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1300048828125 × 2 - 1) × π
    0.739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32474788397424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81684477} λ = 0.81684477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32474788397424))-π/2
    2×atan(10.2241021008404)-π/2
    2×1.47329834005924-π/2
    2.94659668011848-1.57079632675     		φ = 1.37580035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81684477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37580035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.827554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82576 KachelY 17040 0.81684477 1.37580035 46.801758 78.827554
    Oben rechts KachelX + 1 82577 KachelY 17040 0.81689271 1.37580035 46.804505 78.827554
    Unten links KachelX 82576 KachelY + 1 17041 0.81684477 1.37579106 46.801758 78.827021
    Unten rechts KachelX + 1 82577 KachelY + 1 17041 0.81689271 1.37579106 46.804505 78.827021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37580035-1.37579106) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dl = 59.1865899996154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37580035-1.37579106) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dr = 59.1865899996154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81684477-0.81689271) × cos(1.37580035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193762588004863 × 6371000     		do = 59.1800818256616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81684477-0.81689271) × cos(1.37579106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193771701936594 × 6371000     		du = 59.1828654550048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37580035)-sin(1.37579106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193762588004863-0.193771701936594)×R²
    abs(0.81689271-0.81684477)×9.11393173072539e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.11393173072539e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.11393173072539e-06×40589641000000     		ar = 3502.74961610671m²