Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8258 / 8258
↖ ↑ ↗
← S  1.450040°
E  1.450195°		 ← 2 442.50 m → S  1.450040°
E  1.472168°		 →
↑
2 442.45 m
↓
↑
2 442.45 m
↓
S  1.472006°
E  1.450195°		 ← 2 442.47 m →
5 965 646 m²		 S  1.472006°
E  1.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504058837890625 y=0.504058837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504058837890625 × 214)
    floor (0.504058837890625 × 16384)
    floor (8258.5)     		tx = 8258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504058837890625 × 214)
    floor (0.504058837890625 × 16384)
    floor (8258.5)     		ty = 8258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8258 / 8258 ti = "14/8258/8258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8258/8258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8258 ÷ 214
    8258 ÷ 16384     		x = 0.5040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8258 ÷ 214
    8258 ÷ 16384     		y = 0.5040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0253106829993896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02531068} λ = 0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0253106829993896))-π/2
    2×atan(0.975006946885026)-π/2
    2×0.772744172914709-π/2
    1.54548834582942-1.57079632675     		φ = -0.02530798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02530798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.450040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8258 KachelY 8258 0.02531068 -0.02530798 1.450195 -1.450040
    Oben rechts KachelX + 1 8259 KachelY 8258 0.02569418 -0.02530798 1.472168 -1.450040
    Unten links KachelX 8258 KachelY + 1 8259 0.02531068 -0.02569135 1.450195 -1.472006
    Unten rechts KachelX + 1 8259 KachelY + 1 8259 0.02569418 -0.02569135 1.472168 -1.472006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02530798--0.02569135) × R
    0.000383370000000001 × 6371000     		dl = 2442.45027000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02530798--0.02569135) × R
    0.000383370000000001 × 6371000     		dr = 2442.45027000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02531068-0.02569418) × cos(-0.02530798) × R
    0.000383500000000002 × 0.99967977016681 × 6371000     		do = 2442.49608933352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02531068-0.02569418) × cos(-0.02569135) × R
    0.000383500000000002 × 0.99966999541969 × 6371000     		du = 2442.47220690404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02530798)-sin(-0.02569135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99967977016681-0.99966999541969)×R²
    abs(0.02569418-0.02531068)×9.77474712038351e-06×R²
    0.000383500000000002×9.77474712038351e-06×6371000²
    0.000383500000000002×9.77474712038351e-06×40589641000000     		ar = 5965646.14010898m²