Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8260 / 8260
↖ ↑ ↗
← S  1.493971°
E  1.494140°		 ← 2 442.45 m → S  1.493971°
E  1.516113°		 →
↑
2 442.39 m
↓
↑
2 442.39 m
↓
S  1.515936°
E  1.494140°		 ← 2 442.42 m →
5 965 372 m²		 S  1.515936°
E  1.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504180908203125 y=0.504180908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504180908203125 × 214)
    floor (0.504180908203125 × 16384)
    floor (8260.5)     		tx = 8260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504180908203125 × 214)
    floor (0.504180908203125 × 16384)
    floor (8260.5)     		ty = 8260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8260 / 8260 ti = "14/8260/8260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8260/8260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8260 ÷ 214
    8260 ÷ 16384     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8260 ÷ 214
    8260 ÷ 16384     		y = 0.504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    -0.00830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0260776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0260776733933105))-π/2
    2×atan(0.9742594126352)-π/2
    2×0.772360804282319-π/2
    1.54472160856464-1.57079632675     		φ = -0.02607472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02607472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.493971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8260 KachelY 8260 0.02607767 -0.02607472 1.494140 -1.493971
    Oben rechts KachelX + 1 8261 KachelY 8260 0.02646117 -0.02607472 1.516113 -1.493971
    Unten links KachelX 8260 KachelY + 1 8261 0.02607767 -0.02645808 1.494140 -1.515936
    Unten rechts KachelX + 1 8261 KachelY + 1 8261 0.02646117 -0.02645808 1.516113 -1.515936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02607472--0.02645808) × R
    0.000383359999999999 × 6371000     		dl = 2442.38656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02607472--0.02645808) × R
    0.000383359999999999 × 6371000     		dr = 2442.38656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02646117) × cos(-0.02607472) × R
    0.000383499999999998 × 0.999660073748516 × 6371000     		do = 2442.44796549815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02646117) × cos(-0.02645808) × R
    0.000383499999999998 × 0.999650005419297 × 6371000     		du = 2442.42336576584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02607472)-sin(-0.02645808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999660073748516-0.999650005419297)×R²
    abs(0.02646117-0.02607767)×1.00683292191261e-05×R²
    0.000383499999999998×1.00683292191261e-05×6371000²
    0.000383499999999998×1.00683292191261e-05×40589641000000     		ar = 5965372.11646256m²