Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82624 / 16960
↖ ↑ ↗
← N 78.870049°
E 46.933594°		 ← 58.96 m → N 78.870049°
E 46.936340°		 →
↑
59 m
↓
↑
59 m
↓
N 78.869518°
E 46.933594°		 ← 58.96 m →
3 478 m²		 N 78.869518°
E 46.936340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630374908447266 y=0.129398345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630374908447266 × 217)
    floor (0.630374908447266 × 131072)
    floor (82624.5)     		tx = 82624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129398345947266 × 217)
    floor (0.129398345947266 × 131072)
    floor (16960.5)     		ty = 16960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82624 / 16960 ti = "17/82624/16960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82624/16960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82624 ÷ 217
    82624 ÷ 131072     		x = 0.63037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16960 ÷ 217
    16960 ÷ 131072     		y = 0.12939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    0.2607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81914574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12939453125 × 2 - 1) × π
    0.7412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32858283594385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81914574} λ = 0.81914574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32858283594385))-π/2
    2×atan(10.2633863197302)-π/2
    2×1.47366917709551-π/2
    2.94733835419102-1.57079632675     		φ = 1.37654203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81914574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37654203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.870049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82624 KachelY 16960 0.81914574 1.37654203 46.933594 78.870049
    Oben rechts KachelX + 1 82625 KachelY 16960 0.81919368 1.37654203 46.936340 78.870049
    Unten links KachelX 82624 KachelY + 1 16961 0.81914574 1.37653277 46.933594 78.869518
    Unten rechts KachelX + 1 82625 KachelY + 1 16961 0.81919368 1.37653277 46.936340 78.869518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37654203-1.37653277) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dl = 58.9954599993623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37654203-1.37653277) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dr = 58.9954599993623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81914574-0.81919368) × cos(1.37654203) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.193034910764488 × 6371000     		do = 58.9578304661756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81914574-0.81919368) × cos(1.37653277) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.193043996593105 × 6371000     		du = 58.9606055121043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37654203)-sin(1.37653277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193034910764488-0.193043996593105)×R²
    abs(0.81919368-0.81914574)×9.08582861663954e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.08582861663954e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.08582861663954e-06×40589641000000     		ar = 3478.32618653934m²