Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8264 / 8280
↖ ↑ ↗
← S  1.933227°
E  1.582031°		 ← 2 441.89 m → S  1.933227°
E  1.604004°		 →
↑
2 441.88 m
↓
↑
2 441.88 m
↓
S  1.955187°
E  1.582031°		 ← 2 441.86 m →
5 962 751 m²		 S  1.955187°
E  1.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504425048828125 y=0.505401611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504425048828125 × 214)
    floor (0.504425048828125 × 16384)
    floor (8264.5)     		tx = 8264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505401611328125 × 214)
    floor (0.505401611328125 × 16384)
    floor (8280.5)     		ty = 8280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8264 / 8280 ti = "14/8264/8280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8264/8280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8264 ÷ 214
    8264 ÷ 16384     		x = 0.50439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8280 ÷ 214
    8280 ÷ 16384     		y = 0.50537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02761165} λ = 0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0337475773325195))-π/2
    2×atan(0.966815519991225)-π/2
    2×0.768527576742977-π/2
    1.53705515348595-1.57079632675     		φ = -0.03374117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03374117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.933227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8264 KachelY 8280 0.02761165 -0.03374117 1.582031 -1.933227
    Oben rechts KachelX + 1 8265 KachelY 8280 0.02799515 -0.03374117 1.604004 -1.933227
    Unten links KachelX 8264 KachelY + 1 8281 0.02761165 -0.03412445 1.582031 -1.955187
    Unten rechts KachelX + 1 8265 KachelY + 1 8281 0.02799515 -0.03412445 1.604004 -1.955187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03374117--0.03412445) × R
    0.00038328 × 6371000     		dl = 2441.87688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03374117--0.03412445) × R
    0.00038328 × 6371000     		dr = 2441.87688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02761165-0.02799515) × cos(-0.03374117) × R
    0.000383499999999998 × 0.999430820725887 × 6371000     		do = 2441.8878365169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02761165-0.02799515) × cos(-0.03412445) × R
    0.000383499999999998 × 0.99941781745429 × 6371000     		du = 2441.85606590298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03374117)-sin(-0.03412445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999430820725887-0.99941781745429)×R²
    abs(0.02799515-0.02761165)×1.30032715970341e-05×R²
    0.000383499999999998×1.30032715970341e-05×6371000²
    0.000383499999999998×1.30032715970341e-05×40589641000000     		ar = 5962750.73457583m²