Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82687 / 16129
↖ ↑ ↗
← N 79.302130°
E 47.106629°		 ← 56.68 m → N 79.302130°
E 47.109375°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.301620°
E 47.106629°		 ← 56.69 m →
3 214 m²		 N 79.301620°
E 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630855560302734 y=0.123058319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630855560302734 × 217)
    floor (0.630855560302734 × 131072)
    floor (82687.5)     		tx = 82687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123058319091797 × 217)
    floor (0.123058319091797 × 131072)
    floor (16129.5)     		ty = 16129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82687 / 16129 ti = "17/82687/16129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82687/16129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82687 ÷ 217
    82687 ÷ 131072     		x = 0.630851745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16129 ÷ 217
    16129 ÷ 131072     		y = 0.123054504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630851745605469 × 2 - 1) × π
    0.261703491210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.82216577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123054504394531 × 2 - 1) × π
    0.753890991210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.36841839952811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82216577} λ = 0.82216577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36841839952811))-π/2
    2×atan(10.6804866559254)-π/2
    2×1.4774397976809-π/2
    2.95487959536179-1.57079632675     		φ = 1.38408327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82216577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.106629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38408327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.302130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82687 KachelY 16129 0.82216577 1.38408327 47.106629 79.302130
    Oben rechts KachelX + 1 82688 KachelY 16129 0.82221370 1.38408327 47.109375 79.302130
    Unten links KachelX 82687 KachelY + 1 16130 0.82216577 1.38407437 47.106629 79.301620
    Unten rechts KachelX + 1 82688 KachelY + 1 16130 0.82221370 1.38407437 47.109375 79.301620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38408327-1.38407437) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38408327-1.38407437) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82216577-0.82221370) × cos(1.38408327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185630088426251 × 6371000     		do = 56.6843806309544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82216577-0.82221370) × cos(1.38407437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185638833734209 × 6371000     		du = 56.6870511159452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38408327)-sin(1.38407437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185630088426251-0.185638833734209)×R²
    abs(0.82221370-0.82216577)×8.74530795744177e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.74530795744177e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.74530795744177e-06×40589641000000     		ar = 3214.18779298946m²