Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82688 / 17151
↖ ↑ ↗
← N 78.768327°
E 47.109375°		 ← 59.49 m → N 78.768327°
E 47.112122°		 →
↑
59.51 m
↓
↑
59.51 m
↓
N 78.767792°
E 47.109375°		 ← 59.49 m →
3 540 m²		 N 78.767792°
E 47.112122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630863189697266 y=0.130855560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630863189697266 × 217)
    floor (0.630863189697266 × 131072)
    floor (82688.5)     		tx = 82688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130855560302734 × 217)
    floor (0.130855560302734 × 131072)
    floor (17151.5)     		ty = 17151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82688 / 17151 ti = "17/82688/17151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82688/17151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82688 ÷ 217
    82688 ÷ 131072     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17151 ÷ 217
    17151 ÷ 131072     		y = 0.130851745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130851745605469 × 2 - 1) × π
    0.738296508789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31942688811642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31942688811642))-π/2
    2×atan(10.1698441770228)-π/2
    2×1.47278148734362-π/2
    2.94556297468725-1.57079632675     		φ = 1.37476665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37476665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.768327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82688 KachelY 17151 0.82221370 1.37476665 47.109375 78.768327
    Oben rechts KachelX + 1 82689 KachelY 17151 0.82226164 1.37476665 47.112122 78.768327
    Unten links KachelX 82688 KachelY + 1 17152 0.82221370 1.37475731 47.109375 78.767792
    Unten rechts KachelX + 1 82689 KachelY + 1 17152 0.82226164 1.37475731 47.112122 78.767792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37476665-1.37475731) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dl = 59.5051400005087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37476665-1.37475731) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dr = 59.5051400005087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.82226164) × cos(1.37476665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194776594084989 × 6371000     		do = 59.4897853830483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.82226164) × cos(1.37475731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194785755193382 × 6371000     		du = 59.4925834213584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37476665)-sin(1.37475731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194776594084989-0.194785755193382)×R²
    abs(0.82226164-0.82221370)×9.16110839280226e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.16110839280226e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.16110839280226e-06×40589641000000     		ar = 3540.03125666538m²