Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82704 / 16144
↖ ↑ ↗
← N 79.294479°
E 47.153320°		 ← 56.74 m → N 79.294479°
E 47.156067°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.293969°
E 47.153320°		 ← 56.74 m →
3 217 m²		 N 79.293969°
E 47.156067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630985260009766 y=0.123172760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630985260009766 × 217)
    floor (0.630985260009766 × 131072)
    floor (82704.5)     		tx = 82704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123172760009766 × 217)
    floor (0.123172760009766 × 131072)
    floor (16144.5)     		ty = 16144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82704 / 16144 ti = "17/82704/16144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82704/16144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82704 ÷ 217
    82704 ÷ 131072     		x = 0.6309814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16144 ÷ 217
    16144 ÷ 131072     		y = 0.1231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6309814453125 × 2 - 1) × π
    0.261962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82298069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1231689453125 × 2 - 1) × π
    0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82298069} λ = 0.82298069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36769934603381))-π/2
    2×atan(10.6728095751213)-π/2
    2×1.47737303511575-π/2
    2.9547460702315-1.57079632675     		φ = 1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82298069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82704 KachelY 16144 0.82298069 1.38394974 47.153320 79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 82705 KachelY 16144 0.82302863 1.38394974 47.156067 79.294479
    Unten links KachelX 82704 KachelY + 1 16145 0.82298069 1.38394084 47.153320 79.293969
    Unten rechts KachelX + 1 82705 KachelY + 1 16145 0.82302863 1.38394084 47.156067 79.293969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38394974-1.38394084) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38394974-1.38394084) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82298069-0.82302863) × cos(1.38394974) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 56.7362812878932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82298069-0.82302863) × cos(1.38394084) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185770041066445 × 6371000     		du = 56.7389522626435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38394974)-sin(1.38394084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.185770041066445)×R²
    abs(0.82302863-0.82298069)×8.74508726833589e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.74508726833589e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.74508726833589e-06×40589641000000     		ar = 3217.13067272279m²