Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82704 / 17168
↖ ↑ ↗
← N 78.759229°
E 47.153320°		 ← 59.54 m → N 78.759229°
E 47.156067°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.758693°
E 47.153320°		 ← 59.54 m →
3 547 m²		 N 78.758693°
E 47.156067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630985260009766 y=0.130985260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630985260009766 × 217)
    floor (0.630985260009766 × 131072)
    floor (82704.5)     		tx = 82704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130985260009766 × 217)
    floor (0.130985260009766 × 131072)
    floor (17168.5)     		ty = 17168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82704 / 17168 ti = "17/82704/17168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82704/17168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82704 ÷ 217
    82704 ÷ 131072     		x = 0.6309814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17168 ÷ 217
    17168 ÷ 131072     		y = 0.1309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6309814453125 × 2 - 1) × π
    0.261962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82298069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1309814453125 × 2 - 1) × π
    0.738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31861196082288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82298069} λ = 0.82298069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31861196082288))-π/2
    2×atan(10.1615598694445)-π/2
    2×1.47270209123458-π/2
    2.94540418246916-1.57079632675     		φ = 1.37460786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82298069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37460786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.759229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82704 KachelY 17168 0.82298069 1.37460786 47.153320 78.759229
    Oben rechts KachelX + 1 82705 KachelY 17168 0.82302863 1.37460786 47.156067 78.759229
    Unten links KachelX 82704 KachelY + 1 17169 0.82298069 1.37459851 47.153320 78.758693
    Unten rechts KachelX + 1 82705 KachelY + 1 17169 0.82302863 1.37459851 47.156067 78.758693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37460786-1.37459851) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37460786-1.37459851) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82298069-0.82302863) × cos(1.37460786) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194932340424342 × 6371000     		do = 59.5373543241354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82298069-0.82302863) × cos(1.37459851) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194941511051888 × 6371000     		du = 59.54015526984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37460786)-sin(1.37459851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194932340424342-0.194941511051888)×R²
    abs(0.82302863-0.82298069)×9.17062754623998e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.17062754623998e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.17062754623998e-06×40589641000000     		ar = 3546.65515361312m²