Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8272 / 8304
↖ ↑ ↗
← S  2.460181°
E  1.757813°		 ← 2 440.96 m → S  2.460181°
E  1.779785°		 →
↑
2 440.98 m
↓
↑
2 440.98 m
↓
S  2.482133°
E  1.757813°		 ← 2 440.92 m →
5 958 304 m²		 S  2.482133°
E  1.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504913330078125 y=0.506866455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504913330078125 × 214)
    floor (0.504913330078125 × 16384)
    floor (8272.5)     		tx = 8272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506866455078125 × 214)
    floor (0.506866455078125 × 16384)
    floor (8304.5)     		ty = 8304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8272 / 8304 ti = "14/8272/8304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8272/8304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8272 ÷ 214
    8272 ÷ 16384     		x = 0.5048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8304 ÷ 214
    8304 ÷ 16384     		y = 0.5068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5048828125 × 2 - 1) × π
    0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03067962} λ = 0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0429514620595703))-π/2
    2×atan(0.957957886241424)-π/2
    2×0.763929032495852-π/2
    1.5278580649917-1.57079632675     		φ = -0.04293826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04293826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.460181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8272 KachelY 8304 0.03067962 -0.04293826 1.757813 -2.460181
    Oben rechts KachelX + 1 8273 KachelY 8304 0.03106311 -0.04293826 1.779785 -2.460181
    Unten links KachelX 8272 KachelY + 1 8305 0.03067962 -0.04332140 1.757813 -2.482133
    Unten rechts KachelX + 1 8273 KachelY + 1 8305 0.03106311 -0.04332140 1.779785 -2.482133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04293826--0.04332140) × R
    0.000383140000000004 × 6371000     		dl = 2440.98494000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04293826--0.04332140) × R
    0.000383140000000004 × 6371000     		dr = 2440.98494000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03067962-0.03106311) × cos(-0.04293826) × R
    0.00038349 × 0.999078294539057 × 6371000     		do = 2440.9628655858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03067962-0.03106311) × cos(-0.04332140) × R
    0.00038349 × 0.999061774898794 × 6371000     		du = 2440.92250455639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04293826)-sin(-0.04332140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999078294539057-0.999061774898794)×R²
    abs(0.03106311-0.03067962)×1.65196402631684e-05×R²
    0.00038349×1.65196402631684e-05×6371000²
    0.00038349×1.65196402631684e-05×40589641000000     		ar = 5958304.40654982m²