Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8276 / 8276
↖ ↑ ↗
← S  1.845384°
E  1.845703°		 ← 2 441.95 m → S  1.845384°
E  1.867676°		 →
↑
2 441.94 m
↓
↑
2 441.94 m
↓
S  1.867345°
E  1.845703°		 ← 2 441.92 m →
5 963 054 m²		 S  1.867345°
E  1.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505157470703125 y=0.505157470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505157470703125 × 214)
    floor (0.505157470703125 × 16384)
    floor (8276.5)     		tx = 8276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505157470703125 × 214)
    floor (0.505157470703125 × 16384)
    floor (8276.5)     		ty = 8276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8276 / 8276 ti = "14/8276/8276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8276/8276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8276 ÷ 214
    8276 ÷ 16384     		x = 0.505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8276 ÷ 214
    8276 ÷ 16384     		y = 0.505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505126953125 × 2 - 1) × π
    0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0322135965446777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03221360} λ = 0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0322135965446777))-π/2
    2×atan(0.968299734511517)-π/2
    2×0.769294150115815-π/2
    1.53858830023163-1.57079632675     		φ = -0.03220803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03220803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.845384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8276 KachelY 8276 0.03221360 -0.03220803 1.845703 -1.845384
    Oben rechts KachelX + 1 8277 KachelY 8276 0.03259709 -0.03220803 1.867676 -1.845384
    Unten links KachelX 8276 KachelY + 1 8277 0.03221360 -0.03259132 1.845703 -1.867345
    Unten rechts KachelX + 1 8277 KachelY + 1 8277 0.03259709 -0.03259132 1.867676 -1.867345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03220803--0.03259132) × R
    0.000383290000000001 × 6371000     		dl = 2441.94059000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03220803--0.03259132) × R
    0.000383290000000001 × 6371000     		dr = 2441.94059000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03221360-0.03259709) × cos(-0.03220803) × R
    0.00038349 × 0.999481366238124 × 6371000     		do = 2441.94765632239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03221360-0.03259709) × cos(-0.03259132) × R
    0.00038349 × 0.999468949939347 × 6371000     		du = 2441.91732063758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03220803)-sin(-0.03259132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999481366238124-0.999468949939347)×R²
    abs(0.03259709-0.03221360)×1.24162987766852e-05×R²
    0.00038349×1.24162987766852e-05×6371000²
    0.00038349×1.24162987766852e-05×40589641000000     		ar = 5963054.13466236m²