Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 828 / 1340
↖ ↑ ↗
← S 48.458352°
W 34.453125°		 ← 12.962 km → S 48.458352°
W 34.277344°		 →
↑
12.947 km
↓
↑
12.947 km
↓
S 48.574790°
W 34.453125°		 ← 12.932 km →
167.633 km²		 S 48.574790°
W 34.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404541015625 y=0.654541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404541015625 × 211)
    floor (0.404541015625 × 2048)
    floor (828.5)     		tx = 828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654541015625 × 211)
    floor (0.654541015625 × 2048)
    floor (1340.5)     		ty = 1340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 828 / 1340 ti = "11/828/1340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/828/1340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 828 ÷ 211
    828 ÷ 2048     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1340 ÷ 211
    1340 ÷ 2048     		y = 0.654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654296875 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969475857916016))-π/2
    2×atan(0.379281783557872)-π/2
    2×0.362519268184134-π/2
    0.725038536368268-1.57079632675     		φ = -0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 828 KachelY 1340 -0.60132047 -0.84575779 -34.453125 -48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 829 KachelY 1340 -0.59825251 -0.84575779 -34.277344 -48.458352
    Unten links KachelX 828 KachelY + 1 1341 -0.60132047 -0.84779002 -34.453125 -48.574790
    Unten rechts KachelX + 1 829 KachelY + 1 1341 -0.59825251 -0.84779002 -34.277344 -48.574790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84575779--0.84779002) × R
    0.00203223000000008 × 6371000     		dl = 12947.3373300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84575779--0.84779002) × R
    0.00203223000000008 × 6371000     		dr = 12947.3373300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.59825251) × cos(-0.84575779) × R
    0.00306795999999998 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 12962.1913531927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.59825251) × cos(-0.84779002) × R
    0.00306795999999998 × 0.661641847521221 × 6371000     		du = 12932.4337931825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84575779)-sin(-0.84779002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.661641847521221)×R²
    abs(-0.59825251--0.60132047)×0.00152243941842023×R²
    0.00306795999999998×0.00152243941842023×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152243941842023×40589641000000     		ar = 167633281.095226m²