Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82943 / 50177
↖ ↑ ↗
← N 38.820451°
E 47.809753°		 ← 237.96 m → N 38.820451°
E 47.812500°		 →
↑
237.96 m
↓
↑
237.96 m
↓
N 38.818311°
E 47.809753°		 ← 237.97 m →
56 625 m²		 N 38.818311°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632808685302734 y=0.382823944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632808685302734 × 217)
    floor (0.632808685302734 × 131072)
    floor (82943.5)     		tx = 82943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382823944091797 × 217)
    floor (0.382823944091797 × 131072)
    floor (50177.5)     		ty = 50177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82943 / 50177 ti = "17/82943/50177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82943/50177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82943 ÷ 217
    82943 ÷ 131072     		x = 0.632804870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50177 ÷ 217
    50177 ÷ 131072     		y = 0.382820129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632804870605469 × 2 - 1) × π
    0.265609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.83443761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382820129394531 × 2 - 1) × π
    0.234359741210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.736262841264442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83443761} λ = 0.83443761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736262841264442))-π/2
    2×atan(2.08811728885168)-π/2
    2×1.12417050785357-π/2
    2.24834101570713-1.57079632675     		φ = 0.67754469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83443761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.809753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67754469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.820451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82943 KachelY 50177 0.83443761 0.67754469 47.809753 38.820451
    Oben rechts KachelX + 1 82944 KachelY 50177 0.83448555 0.67754469 47.812500 38.820451
    Unten links KachelX 82943 KachelY + 1 50178 0.83443761 0.67750734 47.809753 38.818311
    Unten rechts KachelX + 1 82944 KachelY + 1 50178 0.83448555 0.67750734 47.812500 38.818311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67754469-0.67750734) × R
    3.7349999999936e-05 × 6371000     		dl = 237.956849999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67754469-0.67750734) × R
    3.7349999999936e-05 × 6371000     		dr = 237.956849999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83443761-0.83448555) × cos(0.67754469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779114255183765 × 6371000     		do = 237.961547933894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83443761-0.83448555) × cos(0.67750734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779137668681095 × 6371000     		du = 237.968699018642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67754469)-sin(0.67750734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779114255183765-0.779137668681095)×R²
    abs(0.83448555-0.83443761)×2.34134973304823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34134973304823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34134973304823e-05×40589641000000     		ar = 56625.4311987618m²