Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82945 / 50175
↖ ↑ ↗
← N 38.824731°
E 47.815247°		 ← 237.90 m → N 38.824731°
E 47.817993°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
N 38.822591°
E 47.815247°		 ← 237.90 m →
56 595 m²		 N 38.822591°
E 47.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632823944091797 y=0.382808685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632823944091797 × 217)
    floor (0.632823944091797 × 131072)
    floor (82945.5)     		tx = 82945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382808685302734 × 217)
    floor (0.382808685302734 × 131072)
    floor (50175.5)     		ty = 50175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82945 / 50175 ti = "17/82945/50175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82945/50175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82945 ÷ 217
    82945 ÷ 131072     		x = 0.632820129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50175 ÷ 217
    50175 ÷ 131072     		y = 0.382804870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632820129394531 × 2 - 1) × π
    0.265640258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83453349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382804870605469 × 2 - 1) × π
    0.234390258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.736358715063683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83453349} λ = 0.83453349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736358715063683))-π/2
    2×atan(2.08831749418649)-π/2
    2×1.12420785505308-π/2
    2.24841571010617-1.57079632675     		φ = 0.67761938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83453349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.815247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67761938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.824731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82945 KachelY 50175 0.83453349 0.67761938 47.815247 38.824731
    Oben rechts KachelX + 1 82946 KachelY 50175 0.83458142 0.67761938 47.817993 38.824731
    Unten links KachelX 82945 KachelY + 1 50176 0.83453349 0.67758204 47.815247 38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 82946 KachelY + 1 50176 0.83458142 0.67758204 47.817993 38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67761938-0.67758204) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67761938-0.67758204) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83453349-0.83458142) × cos(0.67761938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.779067431197892 × 6371000     		do = 237.897612297619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83453349-0.83458142) × cos(0.67758204) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 237.904760640031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67761938)-sin(0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779067431197892-0.779090840599552)×R²
    abs(0.83458142-0.83453349)×2.34094016602349e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34094016602349e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34094016602349e-05×40589641000000     		ar = 56595.0602653905m²