Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82946 / 50178
↖ ↑ ↗
← N 38.818311°
E 47.817993°		 ← 237.97 m → N 38.818311°
E 47.820740°		 →
↑
237.96 m
↓
↑
237.96 m
↓
N 38.816171°
E 47.817993°		 ← 237.98 m →
56 627 m²		 N 38.816171°
E 47.820740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632831573486328 y=0.382831573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632831573486328 × 217)
    floor (0.632831573486328 × 131072)
    floor (82946.5)     		tx = 82946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382831573486328 × 217)
    floor (0.382831573486328 × 131072)
    floor (50178.5)     		ty = 50178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82946 / 50178 ti = "17/82946/50178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82946/50178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82946 ÷ 217
    82946 ÷ 131072     		x = 0.632827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50178 ÷ 217
    50178 ÷ 131072     		y = 0.382827758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632827758789062 × 2 - 1) × π
    0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382827758789062 × 2 - 1) × π
    0.234344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.736214904364822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83458142} λ = 0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736214904364822))-π/2
    2×atan(2.08801719338196)-π/2
    2×1.12415183341204-π/2
    2.24830366682408-1.57079632675     		φ = 0.67750734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67750734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.818311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82946 KachelY 50178 0.83458142 0.67750734 47.817993 38.818311
    Oben rechts KachelX + 1 82947 KachelY 50178 0.83462936 0.67750734 47.820740 38.818311
    Unten links KachelX 82946 KachelY + 1 50179 0.83458142 0.67746999 47.817993 38.816171
    Unten rechts KachelX + 1 82947 KachelY + 1 50179 0.83462936 0.67746999 47.820740 38.816171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67750734-0.67746999) × R
    3.73500000000471e-05 × 6371000     		dl = 237.9568500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67750734-0.67746999) × R
    3.73500000000471e-05 × 6371000     		dr = 237.9568500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83458142-0.83462936) × cos(0.67750734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779137668681095 × 6371000     		do = 237.968699018642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83458142-0.83462936) × cos(0.67746999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779161081091511 × 6371000     		du = 237.975849771419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67750734)-sin(0.67746999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779137668681095-0.779161081091511)×R²
    abs(0.83462936-0.83458142)×2.34124104159239e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34124104159239e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34124104159239e-05×40589641000000     		ar = 56627.1328090802m²