Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82948 / 50180
↖ ↑ ↗
← N 38.814031°
E 47.823487°		 ← 237.93 m → N 38.814031°
E 47.826233°		 →
↑
237.96 m
↓
↑
237.96 m
↓
N 38.811891°
E 47.823487°		 ← 237.94 m →
56 619 m²		 N 38.811891°
E 47.826233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632846832275391 y=0.382846832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632846832275391 × 217)
    floor (0.632846832275391 × 131072)
    floor (82948.5)     		tx = 82948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382846832275391 × 217)
    floor (0.382846832275391 × 131072)
    floor (50180.5)     		ty = 50180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82948 / 50180 ti = "17/82948/50180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82948/50180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82948 ÷ 217
    82948 ÷ 131072     		x = 0.632843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50180 ÷ 217
    50180 ÷ 131072     		y = 0.382843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632843017578125 × 2 - 1) × π
    0.26568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83467730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382843017578125 × 2 - 1) × π
    0.23431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736119030565582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83467730} λ = 0.83467730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736119030565582))-π/2
    2×atan(2.08781701683675)-π/2
    2×1.12411448284551-π/2
    2.24822896569103-1.57079632675     		φ = 0.67743264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83467730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.823487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67743264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.814031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82948 KachelY 50180 0.83467730 0.67743264 47.823487 38.814031
    Oben rechts KachelX + 1 82949 KachelY 50180 0.83472523 0.67743264 47.826233 38.814031
    Unten links KachelX 82948 KachelY + 1 50181 0.83467730 0.67739529 47.823487 38.811891
    Unten rechts KachelX + 1 82949 KachelY + 1 50181 0.83472523 0.67739529 47.826233 38.811891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67743264-0.67739529) × R
    3.73500000000471e-05 × 6371000     		dl = 237.9568500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67743264-0.67739529) × R
    3.73500000000471e-05 × 6371000     		dr = 237.9568500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83467730-0.83472523) × cos(0.67743264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.77918449241498 × 6371000     		do = 237.933358348503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83467730-0.83472523) × cos(0.67739529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.779207902651468 × 6371000     		du = 237.94050694584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67743264)-sin(0.67739529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77918449241498-0.779207902651468)×R²
    abs(0.83472523-0.83467730)×2.34102364887745e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34102364887745e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34102364887745e-05×40589641000000     		ar = 56618.7229978678m²